Длины сторон треугольника - простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.
Это задача 10.1 на Всероссийской олимпиаде школьников 1993 года. Автор задачи - Д. Митькин.
Перепишем формулу Герона для площади треугольника в виде
16S^2=P(P-2a)(P-2b)(P-2c),
где a,b,c - стороны треугольника, P - его периметр, S - его площадь.
Заметим, что левая часть чётная. Поэтому периметр P тоже чётный (если он нечётный, то правая часть - произведение четырёх нечётных чисел).
Когда сумма трёх целых чисел чётна?
Либо когда все они чётные, либо когда оно число чётна, а два других - нечётны.
Чётное простое число только одно. Площадь равностороннего треугольника со стороной 2, равна sqrt(3), т.е. не является целым числом.
(sqrt(z) означает квадратный корень из z.)
Пусть среди сторон треугольника только одна имеет чётную длину. Обозначим остальные стороны a и b. Если они неравны, то |a-b|>=2, что противоречит неравенству треугольника.
Остался случай равнобедренного треугольника (a=b), основание которого равно c=2.
Тогда P=2a+2, P-2a=2, P-2b=2, P-2c=2a-2.
Подставив в нашу вариацию формулы Герона, получим
16S^2=16(a^2-1)
или
S^2=a^2-1.
Это равенство можно переписать в виде
(a-S)(a+S)=1,
откуда
либо a-S=a+S=1,
либо a-S=a+S=-1.
И то, и другое невозможно хотя бы из-за того, что площадь не может быть равна нулю.
