Всем привет!
Сегодня будет обещанная вторая часть статьи про теорему Птолемея. Я попытаюсь как-то осветить какие есть простые и не очень следствия и обобщения. Доказательств при этом будет чуть меньше, поскольку отдельные утверждения либо имеют очень технические доказательства, либо заслуживают отдельного разговора. Первую часть про разные доказательства можно прочитать тут. В целом же следить за публикациями и влиять на контент можно на телеграмм-канале Олимпиадная геометрия. Итак, приступим.
Теорема Пифагора
Часть следствий к теореме Птолемея получаются подстановкой в нее более или менее конкретных конструкций, вписанных в окружность. Первое и самое очевидно следствие теоремы Птолемея — теорема Пифагора.
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Для вывода достаточно лишь записать теорему Птолемея для прямоугольника. Если стороны прямоугольника равны a и b, а диагональ равна c, то теорема Птолемея приводит к тождеству
Теорема Помпею и ее вариации
Следующее элементарное следствие тоже очень-очень известное.
Теорема Помпею. Если точка P лежит на описанной окружности равностороннего треугольника ABC, то один из отрезков PA, PB и PC равен сумме двух других.
Теорема Помпею (полная версия). Для любой точки P в плоскости равностороннего треугольника ABC из отрезков PA, PB и PC можно составить треугольник, причем он вырожденный тогда и только тогда, когда P лежит на описанной окружности треугольника ABC.
Кстати, у теоремы Помпею есть интересное обобщение, которое тоже выводится из теоремы Птолемея.
Обобщение теоремы Помпею. Если точка P лежит на дуге A₁A₂₃₉ описанной окружности правильного 239-угольника A ₁ ...A₂₃₉, то
Оно, конечно, верно для любого правильного нечетно-угольника. Для доказательства достаточно правильным образом сложить теоремы Птолемея для четырехугольников, одна из вершин которого это точка P, а три оставшихся — три последовательные вершины правильного многоугольника.
Интересно, кстати, что для произвольной точки P выполнено неравенство
Но еще более поразительное утверждение состоит в следующем, что для любой точки P на плоскости и для любого нечетного числа n от 1 до 237 верно неравенство
причем равенство достигается только для точек P, лежащих на дуге A₁A₂₃₉ описанной окружности многоугольника.
Для четно-угольников наверняка тоже можно какое-то интересное тождество или неравенство написать. Вот, например, для квадрата ABCD и точки P на дуге AB его описанной окружности верно, что
Доказывается это утверждение так. Считая, что сторона квадрата равна 1, запишем две теоремы Птолемея для четырехугольников PCDA и PBCA:
далее полученные равенства возвести в квадрат и сложить.
Выход в пространство
Еще одно интересное обобщение теоремы Птолемея получается, если попробовать выйти в пространство.
Неравенство Птолемея для тетраэдра. Для любых четырех точек A, B, C и D в пространстве выполнено неравенство
Лишь немногие доказательства переносятся из плоского случая на пространственный. Проще всего, на мой взгляд, сделать инверсию и свести по-прежнему неравенство Птолемея к неравенству треугольника. Кстати, неравенства типа Помпею тоже остаются верными, когда точка P необязательно лежит в плоскости правильного многоугольника.
Вторая теорема Птолемея и формулы для диагоналей
Теорема Птолемея выражает произведение длин диагоналей вписанного четырехугольника через длины его сторон. Однако небольшая модификация позволяет написать красивые формулы для длин самих диагоналей через длины сторон. Для этого по сути надо найти, как выражается отношение длин диагоналей через длины сторон. Удивительно, но соответствующее утверждение тоже является теоремой Птолемея, только менее известной — этакий Майкрофт Холмс в тени своего брата.
Вторая теорема Птолемея. Для вписанного четырехугольника ABCD верна формула
Самое простое из известных мне доказательств использует формулу для площади, которая является следствием теоремы синусов. Если R — радиус окружности, описанной около четырехугольника ABCD, то, с одной стороны,
а с другой,
Деля одно выражение на другое, получаем требуемое.
Ну и теперь уже зная и теорему Птолемея и ее малоизвестного брата, заключаем, что диагонали m и n вписанного четырехугольника со сторонами a, b, c и d находятся по формулам
Теорема Птолемея для вписанного шестиугольника
Еще есть забавное утверждение, которое называется теоремой Птолемея для шестиугольника. Иногда это утверждение называют теоремой Фурмана.
Теорема Фурмана. Если A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ произвольные точки плоскости, то
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A₁A₂A₃A₄A₅A₆ — вписанный шестиугольник.
Запомнить это дикое выражение можно так. Если у вас a, a', b, b' и c, c' — пары противоположных сторон, d, e и f — это главные диагонали, не имеющие с соответствующими парами общих вершин то
Доказывается эта теорема выписыванием нескольких теорем Птолемея...
Теорема Пурсера
Еще одним обобщением теоремы Птолемея является теорема Пурсера. Она состоит в следующем.
Теорема Пурсера. Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, а t(A), t(B) и t(C) — длины касательных, проведенных из точек A, B и C соответственно к некоторой окружности S. Окружность S касается описанной окружности треугольника ABC тогда и только тогда, когда одно из произведений a⋅t(A), b⋅t(B) и c⋅t(C) равно сумме двух других.
Теорема Птолемея является частным случаем теоремы Пурсера, когда окружность S имеет нулевой радиус. К слову, в общем случае выражения a⋅t(A), b⋅t(B) и c⋅t(C) удовлетворяют неравенству треугольника.
Отмечу, что теорема Фейербаха является очевидным следствием теоремы Пурсера.
Теорема Фейербаха. Вписанная окружность треугольника касается его окружности девяти точек.
Для доказательства достаточно заметить, что длины касательных, проведенных из середин сторон к вписанной окружности треугольника, выражаются через длины сторон треугольника формулами |a–b|/2, |b–c|/2 и |a–c|/2. Из полученных величин одна всегда равна сумме двух других.
Теорема Кэзи или Кейси
В моем школьном детстве эту теорему называли теоремой Кейси, однако сейчас ее везде называют теоремой Кэзи. Она обобщает теорему Пурсера и, тем самым, теорему Птолемея.
Теорема Кэзи. Четыре окружности α, β, γ и δ касаются (внутренним или внешним образом) окружности S в соответствующих вершинах выпуклого четырехугольника ABCD. Обозначим через t(αβ) длину общей касательной к окружностям α и β, внешней, если они касаются S одноименным образом, и внутренней — если разноименным. Аналогично определим t(βγ), t(γδ), t(δα), t(αγ) и t(βδ). Тогда верно соотношение
Эта теорема допускает обращение. Если для касательных к четырем окружностям выполнено соотношение, то существует окружность S, касающаяся всех четырех соответствующим образом. Если окружности не существует, то верно неравенство, аналогичное неравенству Птолемея.
