Всем привет! Перед тем как разбирать следующую задачу с Уральского турнира хочется поговорить вот о чем. О прямой Гаусса, а точнее о теореме Гаусса–Боденмиллера. Так она по крайней мере часто называется в англоязычной литературе. Утверждение состоит в следующем.
Теорема. Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя данными прямыми лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой Гаусса соответствующего четырехсторонника.
В этом утверждении многое, на первый взгляд, может показаться непонятным, внесем ясность. В формулировке теоремы мы употребили термин "четырехсторонник". Так называют фигуру, образованную четырьмя прямыми, никакие две из которых не параллельны, и никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Четыре таких прямых всегда образуют четыре треугольника, именно об их ортоцентрах идет речь. Можно представлять себе картинку так: берем выпуклый четырехугольник и продлеваем его противоположные стороны до точек пересечения. У такого четырехсторонника образуется три "диагонали". Две из них — внутренние диагонали выпуклого четырехугольника, а третья — отрезок, соединяющий точки пересечения противоположных сторон. Оказывается, что середины трех диагоналей лежат на одной прямой, которую и называют прямой Гаусса (синяя) четырехсторонника (или просто четырехугольника). Прямая же, проходящая через ортоцентры (красная) называется прямой или осью Обера четырех прямых. Наша цель — убить двух зайцев сразу, и установить, что ортоцентры лежат на одной прямой и проверить, существование прямой Гаусса.
У утверждения про прямую Гаусса есть множество в том числе и элементарных доказательств (теорема Менелая, массы, линейность, теорема о трех параллелограммах, etc.) Однако мы пойдем иным путем. Стартуем со следующего наблюдения.
Утверждение. Пусть есть треугольник ABC и точки B₁ и C₁ на его сторонах AC и AB соответственно. Тогда радикальная ось окружностей, построенных на отрезках BB₁ и CC₁ как на диаметрах, проходит через ортоцентр треугольника ABC.
Действительно, проведем окружность, построенную на BC как на диаметре. Высота из вершины B является общей хордой окружностей, построенных на BC и на BB₁, то есть их радикальной осью. Аналогично, высота из вершины C является радикальной осью окружностей, построенных на BC и CC₁. Следовательно, ортоцентр является радикальным центром всех трех окружностей и лежит на радикальной оси окружностей, построенных на BB₁ и CC₁ как на диаметрах. Отметим, что утверждение верно и в случае, когда точки B₁ и C₁ лежат не на сторонах треугольника, а на их продолжениях.
Теперь вернемся к теореме Гаусса–Боденмиллера. Возьмем выпуклый четырехугольник ABCD, пусть продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, а продолжения сторон AD и BC — в точке F. Далее, заметим, что диагонали AC и BD являются отрезками от вершин к точкам на противоположных сторонах, скажем, в треугольнике AED. Следовательно, ортоцентр треугольника AED лежит на радикальной оси окружностей, построенных на AC и BD как на диаметрах. Но то же самое верно и для остальных трех треугольников ABF, BCE и CDF! Во всех них диагонали соединяют две из вершин с точками на противоположных сторонах. Следовательно на вышеупомянутой радикальной оси лежат и три оставшихся ортоцентра. Значит ортоцентры лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров, соединяющей середины двух диагоналей. Остался последний микрошаг — рассуждение верно для любых двух из трех диагоналей, следовательно у всех трех окружностей общая радикальная ось и центры лежат на одной прямой.
