Всем привет!
Продолжаем разбирать задачи 55-го уральского турнира юных математиков. Все геометрические задачи турнира можно посмотреть тут. А за публикациями можно следить на телеграм-канале Олимпиадная геометрия. Сегодня разбираем единственную геометрическую задачу на личной олимпиаде — задачу номер 3 с олимпиады 8-го класса. Эту задачу решили почти все участники, она была очень-очень простой.
Допускаю, что есть очень много разных решений в задаче в виду ее простоты. Я приведу первое, которое пришло мне в голову. Первый шаг очень естественный — удвоить отрезок OX и сделать это можно опять же очень естественным образом, продлив OX до пересечения с AB. Итак, пусть OX пересекает AB в точке Y. Требуется доказать, что XY=AD, что равносильно тому, что трапеция ADXY равнобедренная.
Равнобедренность трапеции можно проверять через равенство углов при основании. Осталось заметить, что верна цепочка равенств
Первое равенство верно в силу параллельности OM и AD, где M — середина AB. А второе равенство верно, поскольку O — середина гипотенузы прямоугольного треугольника XYM и OM=OX=OY.
Требуемое равенство углов проверено и, тем самым, задача решена.
