Наверное, каждый хоть раз да слышал о великой теореме Ферма. Я о ней узнала из замечательной книжки Владимира Лёвшина о магистре рассеянных наук. Вот только книги эти были написаны в 70-х. И, поступив на первый курс, я узнала, что эта, как мне казалось, недоказанная теорема была доказана ещё в 1995 году. Надеюсь, вам будет интересно узнать, что это вообще за теорема такая и как её всё-таки удалось доказать.
Что доказывали?
Что же всё-таки за теорема такая? Формулировка её, в отличие от гипотезы Пуанкаре, предельно проста и не требует специальных знаний. Она утверждает, что для любого n>2 уравнение a^n+b^n=c^n не имеет решений в целых числах a, b, c. Пьер Ферма сформулировал эту теорему в 1637 году на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы привести его на полях. Он был, безусловно, прав, ведь доказательство Эндрю Уайлса заняло больше 100 страниц. Но до этого должно пройти ещё более 300 лет...
Кто доказывал?
Конечно, за 300 с половиной лет теорема прошла долгий путь. Начать с того, что и сам Ферма утверждал, что придумал доказательство. Вероятно, он ошибся, так как опубликовал доказательство лишь для случая n=4. Эйлер в 1770 году доказал теорему для случая n = 3, Дирихле и Лежандр в 1825 году — для n = 5, Ламе — для n = 7. Но это всё частные случаи.
Доказать, что что-то не существует – вообще непростая задача. Как опровергнуть, что единорогов не существует? Очень просто – найти одного и привести. Но как доказать, что их нет? Обшарить все уголки Вселенной? Будет ли это достаточно убедительно? Так и тут - недостаточно просто перебрать все числа (тем более, что их бесконечное количество), нужно что-то поосновательней.
Обманчиво простая формулировка убеждала обывателей, что и доказательство тоже должно быть простым. Это породило так называемых "ферматистов" – людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами. Все до одного такие доказательства содержали ошибки. Их были сотни, если не тысячи. Немецкому математику Эдмунду Ландау так докучали "ферматисты", что он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.
При этом нельзя сказать, что все доказательства были впустую. Эдвард Куммер, например, пытаясь доказать теорему Ферма, пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители. Это серьезно.
Кстати, называть теорему "теоремой" можно, только если она доказана. Но все настолько не сомневались в Пьере Ферма, что сразу же назвали её теоремой, хотя до 1995 года она была всего лишь гипотезой.
Кто бы мог подумать, что для доказательства такой простой по формулировке теоремы потребуются сложные математические объекты вроде эллиптических уравнений и модулярных форм. Эндрю Уайлс, как обычно и бывает в таких случаях, доказал более общее утверждение, частным случаем которого являлось подтверждение теоремы Ферма. Он частично доказал теорему о модулярности (ещё её называли гипотезой Таниямы — Шимуры — Вейля). Она гласит (простыми словами), что у каждого эллиптического уравнения есть двойник, соответствующая ему модулярная форма и наоборот, то есть для каждого уравнения определенного вида можно найти ровно один математический объект (модулярную форму), ему соответствующий. Тут в принципе не важно знать, что это за объекты такие, важно следующее:
- Решение уравнения Ферма, если оно существует, можно включить в некоторое эллиптическое уравнение (доказано в 1984)
- Это уравнение не имеет модулярной формы (доказано в 1986)
Из доказательства факта
- Эллиптическое уравнение = модулярная форма
Следовало бы, что решений у теоремы Ферма не существует, ведь иначе они обладали бы модулярной формой. Именно это и доказал Эндрю Уайлс в 1995. За это он получил в 1996 премию Вольфа.
Хоть доказательство и найдено, теорема не перестаёт будоражить обывателей: они всё надеются получить "нормальное" – простое и короткое доказательство.