ОГЭ 2020 (Математика) Задание 15. Уравнения, неравенства и их системы.

Задание очень схоже с заданием 9 этого же экзамена. Очевидным отличием является наличие координатных осей с промежутками при выборе ответа.

1. Линейные неравенства.

• Суть решения состоит в том, чтобы вы максимально упростили неравенство, перенесли всё, что с неизвестной в одну часть неравенства (левую), а всё, что без неё в другую.
• Далее остается просто поделить правую часть на коэффициент неизвестной и получить промежуток. Сравните то, что у вас получилось с предложенными вариантами и выберите ответ.
• Не забывайте, что, если коэффициент неравенства отрицательный то при делении знак неравенства поменяется на противоположный. (Если было -2х>4, то в ответе будет х<2).
• Рассмотрим несколько примеров.

1.1 Промежуток на координатной прямой.

• Вычисления достаточно стандарны. Следует лишь заметить, что х больше -3, а значит этот промежуток правее точки -3 на координатной прямой, а также точка выколота, потому что неравенство строгое.

1.2 Промежуток, заданный неравенством.

• Здесь ещё проще, так как просто требуется по условию составить уравнение и решить его. Даже сравнение с числовой осью не требуют.

2. Квадратные неравенства.

• Здесь будет уже сложнее, так как нужно уже решить неравенство, используя теорему Виета или дискриминант. Мы будем опираться только на дискриминант, так как Виета экзаменуемые обычно не заучивают, да и в этом нет определённой необходимости.
• Сложность заключается в том, что, найдя корни квадратного уравнения, мы должны рассмотреть параболу. И взять нужные промежутки.
• Напомним, что, если у квадратного уравнения коэффициент перед неизвестной в старшей степени отрицательный то ветви параболы будут направлены вниз, если положительный, направлены вверх.
• Рассмотрим на примере.

2.1 Пример 1.

• Неравенство нестрогое, поэтому точки не выкалываем.
• Коэффициент при неизвестной в старшей степени положительный, ветви направлены вверх.
• Всё, что выше координатной оси означает, что при данных х неравенство больше нуля.
• Нам нужно меньше или равно нуля, значит берем промежуток [-1;3].

3. Системы неравенств.

• Еще один вид задания, который может встретится. Специфика его в том, что требуется найти пересечение промежутков двух неравенств.
• Сейчас рассмотрим на примере.

3.1 Решение системы неравенств на координатной оси.

• Находим промежутки отдельно для каждого неравенства, накладываем на одну координатную ось.
• Тот промежуток, который принадлежит и первому неравенству системы, и второму, является решением системы неравенств.

3.2 Решение системы неравенств с дополнительным условием.

• Здесь всё выполняется аналогично прошлому примеру.
• Однако, в ответе нас просят указать наибольшее значение х, удовлетворяющее решению системы. Значит мы берём самое крайнее значение промежутка, который мы получили.
• В нашем случае это -3. И записываем его в ответ.
• Если бы просили найти минимальное значение х, мы бы взяли самое левое значение получившегося промежутка.

4. Рациональное неравенство.

• Очень редкий вид 15го задания, но при этом вполне существующий.
• Спецификой является то, что экзаменуемый должен рассматривать каждый промежуток оси отдельно, для определения знака неравенства на нём.
• Безусловно, есть правила, которые позволяют определить знак неравенства на промежутке и без подставления конкретных значений из промежутка, однако подробнее они рассматриваются в старшей школе и экзаменуемому можно обойтись без них. Хотя, если вам интересна данная тема, можете написать в комментарии, выложу её подробный разбор.
• Рассмотрим пример такого задания.

4.1 Пример 1.

• Находим нули уравнения. Не забываем, что точку 3 нужно будет выколоть.
• Делим координатную прямую значениями х, при которых дробь обращается в 0.
• Затем берём из каждого промежутка по числу, подставляем в дробь и смотрим какой будет знак дроби относительно 0. (Мы взяли 1; 2,5 и 6 соответственно).
• В нашем случае выходит, что крайние промежутки имеют значения дроби меньше нуля, а промежуток посередине больше нуля. Последний нам и нужен.
• Не забываем, что точка х=3 выколотая.

Спасибо за прочтение статьи. Если у вас остались вопросы, вы нашли ошибку или у вас есть пример задачи по данной теме, которую вы не можете решить, пишите в комментарии. Мы постараемся дать развёрнутый ответ.

Все примеры задач взяты с официального сайта для подготовки к ОГЭ "Сдам ГИА".