N квадратных трёхчленов и постулат Бертрана

На доске пишут n квадратных трёхчленов вида ∗ x^2 + ∗ x + ∗ (вместо коэффициентов написаны звёздочки). Можно ли при каком-либо n > 100 поставить вместо 3n звёздочек некоторые 3n последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из n данных трёхчленов имел два различных целых корня?

Задача была предложена 10 классу на Региональном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в феврале 2020 года. Автор задачи - Олег Иванович Южаков, директор Курганского Центра дополнительного математического образования (ЦДМО).

Сначала покажем, что среди этих n квадратных трёхчленов есть приведённый. Пусть это не так, и 3n последовательных натуральных чисел начинаются с какого-то s+1 (и, соответственно, заканчиваются числом 3n+s). По принципу Дирихле найдётся многочлен коэффициент которого при старшем члене не меньше n+s.
Из условия и теоремы Виета следует, что два числа делятся на этот коэффициент. Значит, они не меньше 2(n+s) и 3(n+s) соответственно.
Но 3(n+s)=3n+3s>3n+s. Получили противоречие с тем, что s>=1.

Рассмотрим оставшийся случай, когда 3n чисел меняются от 1 до 3n.
Применим уточнённый постулат Бертрана: среди чисел от n+1 до 3n есть хотя бы ТРИ простых числа.

Но простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Поэтому простые числа могут быть в уравнении, только если коэффициент при x^2 равен 1. Но в этом квадратном трёхчлене есть место ещё только для двух коэффициентов... Противоречие.

Конечно, на проверяющие на олимпиадах не приветствуют применение постулата Бертрана и больше, чем на 4-5 баллов из 7 изложенное выше решение не претендовало бы. Но мы же не на олимпиаде!

Под конец ссылка на ещё один мой пост про применение постулата Бертрана.