Задача #9: Несложная задача с параметром

Доброго времени суток! Продолжаем решать всякое разное. Сегодня будет задача с параметром из ОММО-2020:

При каких значениях параметра a уравнение имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Для решения этой задачи нам потребуется вспомнить (ее вполне возможно придумать) формулы Виета для кубического уравнения. Любой многочлен можно разложить на множители. Кубический многочлен раскладывается на три множителя:

Промежуточные преобразования я позволил себе упустить :(

Заметим, что коэффициенты перед неизвестными нам известны, тогда:

Кроме того, наши корни образуют геометрическую прогрессию, а значит могут быть получены умножением меньшего корня (допустим x первое) на какое-то число – знаменатель прогрессии:

Выразим все корни в первой системе через x первое и знаменатель прогрессии:

Обратим внимание на первое уравнение, если мы извлечем кубический корень, то получим:

Получается, что второй корень равен трем

Подставим получившееся значение в первые два уравнения:

Перенесем тройку вправо в первом уравнении, а во втором уравнении вынесем тройку из первых двух слагаемых:

Осталось подставить первое уравнение во второе и получить ответ:

Будем считать ответ отсылкой :)

Ответ: 42.

Всем спасибо за внимание :)

Также советую ознакомиться с разбором задач заочного тура.

Если вам понравилась задача, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!