Доброго времени суток друзья, недруги и им сочувствующие! Творческий отпуск затянулся – будем исправляться. 26 января закончился отборочный тур Объединенной межвузовской математической олимпиады – самое время подробно его разобрать.
Задача 1. Две машины, расстояние между которыми вначале равно 120 км, движутся в одном направлении по шоссе, скорость на котором ограничена 60 км/ч. В некоторой точке шоссе разрешённая скорость увеличивается до 70 км/ч. Далее каждые 100 км разрешённая скорость увеличивается на 10 км/ч (т. е. через 100 км после первой точки — до 80 км/ч, ещё через 100 км — до 90 км/ч, и т.д.), пока не станет равна 120 км/ч. В любой момент времени машины едут с максимально разрешённой скоростью. Какое расстояние (в км) будет между машинами, когда обе будут ехать со скоростью 120 км/ч? Если необходимо, округлите ответ с точностью до 0,01.
Самый простой способ понять эту задачу – изобразить графически все, что происходит в условии:
Внимательно рассмотрим средний участок (x + 100 + 100 + 100 + 100 + 100). В условии сказано, что автомобили движутся с максимальной скоростью. Это значит, что на данном участке оба автомобиля будут двигаться с одинаковой скоростью, пройдут одинаковое расстояние, соответственно за одинаковое время.
Следовательно этот участок можно сократить, так как он никак не влияет на взаимное расположение автомобилей:
Получается в "усовершенствованной" задаче второй автомобиль сразу едет со скоростью 120 км/ч, а первый автомобиль едет со скоростью 60 км/ч и начнет ехать со скоростью 120 км/ч через 120 км. Чтобы найти время, которое ему потребуется, чтобы проехать эти 120 км поделим расстояние на скорость:
Осталось найти расстояние, которое проедет второй автомобиль за это время – это и будет расстояние между автомобилями в момент, когда оба автомобиля будут ехать со скоростью 120 км/ч:
Ответ: 240 км.
Задача 2. На картинке ниже изображён правильный икосаэдр. Пять точек, смежных с верхней вершиной, лежат в одной горизонтальной плоскости. Пять точек, смежных с нижней вершиной, также лежат в одной горизонтальной плоскости. Сколько существует способов добраться из верхней вершины в нижнюю, каждый раз двигаясь вниз или в одной горизонтальной плоскости и не посещая одну и ту же вершину более одного раза?
По условию задачи мы можем из точки о отправиться на уровень ниже по любому из пяти ребер:
Далее мы можем или остаться в точке, или перейти в любую из точек, находящихся на плоскости:
Таким образом мы видим, что в каждую из точек верхнего пятиугольника мы можем попасть двумя способами и только в точку О1 — одним. Следующим шагом будет спуск на плоскость нижнего пятиугольника. Из каждой точки мы можем спуститься двумя способами. Например, из точки О1 мы можем спуститься вниз в точки О6 и О7:
Далее из точки на нижней плоскости мы можем попасть в любую другую точку плоскости двумя способами, или остаться на месте — все как в ситуации с верхней плоскостью:
Заметим, что из каждой точки нижней плоскости можно только одним способом спуститься в точку О11. Остается только посчитать все возможные пути. Для этого будем умножать количество возможных движений между плоскостями на движения внутри плоскости:
Ответ: 810 способов.
Вот такие задачи на сегодня, в скором времени, надеюсь будет продолжение! Всем спасибо за внимание :)
Также советую ознакомиться с задачами 3, 4 и 5, 6.
Если вы просто ненавидите математику и ничего не поняли — прочитайте статью "Как перестать ненавидеть математику?"
Если вам понравилась задача, то ставьте лайки и подписывайтесь на канал. Математики будет много!