#хакнем_знайка (👈 рубрика, которая пробуждает и формирует вкус к учёбе)
Вероятно, в истории математики второй, после арифметики, возникла геометрия. Из неё выросли тригонометрия и теория функций комплексного переменного, «перебежавшие» в алгебру и зажившие там самостоятельно, аналитически. С собой они захватили тригонометрическую форму теоремы Пифагора — основное тождество тригонометрии и многое другое.
Разделение привело к некоторым трудностям освоения тригонометрии теми, кто образы воспринимает лучше формул, поэтому многие её разделы бывает полезно изучать совместно с геометрическими аналогами. При умелом использовании геометрия создаёт для тригонометрии зрительные образы, а тригонометрия для геометрии аналитический аппарат.
Как геометрические представления могут помочь освоению тригонометрических формул и даже вывести их, покажем на примере вывода формул для синусов и косинусов суммы и разности двух углов, α и β. Для простоты примем все рассматриваемые углы достаточно малыми, чтобы они помещались в первом квадранте координатной окружности. На рисунке показаны углы α и β, их сумма и разность, а также прямоугольные треугольники OAD, OBE, OCF, построенные на соответствующих им точках на координатной окружности, начале и осях координат, хорде AC.
Сверху показаны маленькие треугольники AGB и BHC. Их гипотенузы равны катетам треугольников OAB и OBC, противолежащим углам β, а углы при их верхних вершинах равны α в силу перпендикулярности сторон этих треугольников соответствующим сторонам треугольника OBE. Поскольку радиус координатной окружности принимается равным единице, искомые функции суммы и разности углов равны катетам треугольников OAD и OCF, а все стороны изображенных на рис. прямоугольных треугольников выражаются в виде тригонометрических функций, подписанных на них.
Непосредственно из рис. видно:
Школьник, который рассмотрит совместно рисунок и формулы, не удивится росту синуса и уменьшению косинуса небольших углов при их сложении, что вполне соответствует виду синусоид и косинусоид. Для углов, порознь или вместе выходящих за первый квадрант, соотношения сохраняются, но чтобы получить геометрические их представления, чертежи потребуется делать дополнительно.
#хакнем_знайка (👈 в этой рубрике мы размещаем заметки, которые помогают учиться. Если вы хорошо разбираетесь в каком-то предмете и готовы помочь другим участникам сообщества разобраться — пришлите свою заметку, мы опубликуем её от вашего имени)
Автор: #сергей_игоревич_рыбников , доктор технических наук, профессор