Как я уже писал в одном из предыдущих постов, в ноябре состоялось традиционное командное математическое соревнование для стран балтийского региона. Обещал разобрать еще одну задачу оттуда. Итак, задача.
Это еще одна задача на перпендикулярной и в том же предыдущем посте про задачу 13 с Baltic Way я перечислял возможные способы доказательства перпендикулярности. В этой задаче в целом применимы многие из озвученных идей.
Сразу скажу, что я придумал два решения, одно очень простое и крайне элементарное, в котором не надо ничего знать, кроме того, что высоты пересекаются в одной точке и некоторых свойств-признаков параллелограмма. А второе опирается на очень красивый факт, который в англоязычной литературе называется теоремой Гаусса-Боденмиллера. С нее и начнем. А решения задачи можно посмотреть ниже.
Теорема Гаусса-Боденмиллера звучит следующим образом.
Теорема. Ортоцентры четырех треугольников, образованных четырьмя данными прямыми лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой Гаусса соответствующего четырехсторонника.
В формулировке теоремы мы употребили термин "четырехсторонник". Так называют фигуру, образованную четырьмя прямыми, никакие две из которых не параллельны, и никакие три из которых не пересекаются в одной точке. Можно представлять себе картинку так: берем выпуклый четырехугольник и продлеваем его противоположные стороны до точек пересечения. У такого четырехсторонника образуется три "диагонали". Две из них --- это внутренние диагонали выпуклого четырехугольника, а третья --- это отрезок соединяющий точки пересечения противоположных сторон. Оказывается, что середины диагоналей лежат на одной прямой, которую и называют прямой Гаусса (синяя) четырехсторонника (или просто четырехугольника). Прямая же, проходящая через ортоцентры (красная) называется прямой или осью Обера четырех прямых.
У этого утверждения есть множество доказательств (теорема Менелая, массы, линейность, теорема о трех параллелограммах, etc.) Однако мы воспроизведем доказательство, которое сразу же докажет и наличие прямой Гаусса, и наличие прямой Обера, и их перпендикулярность. Стартуем со следующего наблюдения.
Теперь вернемся к теореме Гаусса–Боденмиллера. Возьмем выпуклый четырехугольник ABCD, пусть продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, а продолжения сторон AD и BC — в точке F. Далее, заметим, что диагонали AC и BD являются отрезками от вершин к точкам на противоположных сторонах, скажем, в треугольнике AED. Следовательно, ортоцентр треугольника AED лежит на радикальной оси окружностей, построенных на AC и BD как на диаметрах. Но то же самое верно и для остальных трех треугольников ABF, BCE и CDF! Во всех них диагонали соединяют две из вершин с точками на противоположных сторонах. Следовательно, и на вышеупомянутой радикальной оси лежат и три оставшихся ортоцентра. Значит ортоцентры лежат на одной прямой, перпендикулярной линии центров, соединяющей середины двух диагоналей. Остался последний микрошаг — рассуждение верно для любых двух из трех диагоналей, следовательно у всех трех окружностей общая радикальная ось и центры лежат на одной прямой.
Теперь перейдем к решению задачи.