Комбинаторика - это подполе дискретной математики, поэтому мы должны начать с вопроса, что означает дискретная математика. Различия в той или иной степени обусловлены мнениями, и различные математики могут классифицировать конкретные темы по-разному.
Вступление
В математическом выражении акцент дискретности делается на отдельности, поэтому «дискретность» противоположна «непрерывности».
Если мы изучаем объекты, которые можно разделить и рассматривать как совокупность единиц, а не как непрерывную структуру, то это исследование попадает в дискретную математику.
В исчислении мы имеем дело с непрерывными функциями, поэтому исчисление не является дискретной математикой. В линейной алгебре наши матрицы часто имеют реальные значения, поэтому линейная алгебра также не попадает в дискретную математику.
Учебники по дискретной математике часто содержат логику, поскольку дискретная математика часто используется в качестве основного предмета для изучения математики на верхнем уровне.
Иногда также рассматриваются элементарная теория чисел и теория множеств. Алгоритмы являются общей темой, так как алгоритмические методы очень хорошо работают на тех структурах, которые мы изучаем в дискретной математике.
В Комбинаторике мы концентрируемся на комбинациях и расположении дискретных структур. В этой статье мы рассмотрим пять основных направлений комбинаторики: нумерация, теория графов, теория Рамзи, теория дизайна и теория кодирования.
Мы сосредоточимся на перечислении, теории графов и теории дизайна, но кратко рассмотрим две другие темы.
Перепись
Перепись - это большое модное слово для подсчета голосов. Если вы изучали теорию вероятности и статистику, вы уже рассмотрели некоторые из техник и проблем, которые мы будем рассматривать.
Когда статистик (или другой математик) рассчитывает «вероятность» конкретного результата в условиях, когда все результаты одинаково вероятны, он обычно перечисляет все возможные результаты, а затем выясняет, сколько из них включают тот результат, который он ищет.
Пример:
Какова вероятность того, что на 6-стороннем кубике будет брошена тройка?
Решение:
Чтобы выяснить это, математик подсчитывает стороны кубика (их шесть) и подсчитывает, сколько из них отображает три (одна из них). Он пришел к выводу, что вероятность выпада 3 на 6-сторонний кубик составляет 1/6 (один из шести).
Это был пример, который вы, вероятно, могли бы выяснить, не изучив счет или вероятность, но он иллюстрирует основной принцип, лежащий в основе многих расчетов вероятности.
Цель переписи состоит в том, чтобы дать нам возможность подсчитать результаты в гораздо более сложных ситуациях.
Иногда это естественным образом относится к вопросам вероятности, но мы сосредоточимся на подсчете, а не на вероятности.
Заключение
После изучения перечисления вы должны уметь решать следующие задачи:
- Если вы играете в покер против одного соперника, а две карты в вашей руке - пара, то какова вероятность того, что у вашего соперника более высокая пара?
- Сколько существует вариантов разных Судоку?
- Сколько различных заказов из пяти наименований можно заказать в пекарне, которая производит три вида печенья?
- Самцы пчел происходят из неоплодотворенной пчелиной яйцеклетки, поэтому у них только один родитель (самка). У самки медоносной пчелы двое родителей. Если предположить, что все предки были разными, сколько предков у пчел мужского пола было от 10 поколений назад?
Хотя все эти вопросы могут представлять для вас интерес, причина исследования заключается в том, что мы сможем использовать многие из методов, которые изучаем для подсчета других структур.
Наука - это удивительная вещь. Она не стоит на месте и каждый раз проводятся новые исследования. Какие-то бывают удачные, а какие-то наоборот провальные. За счет этого и происходит движение нашего мира.
На мой взгляд, в комбинаторике не все аспекты еще изучены до конца. Многое предстоит узнать и изучить, что в дальнейшем поможет нашему обществу выйти на новый уровень. Одним из конечных результатов должно быть освоение искусственного интеллекта в полной мере.
Надеюсь, вам понравилась данная статья и вы получили немного полезной информации. Никогда не бойтесь изучать новое и стремитесь к самосовершенствованию. Знания во многих областях помогут облегчить вам жизнь и лучше приспособиться к миру. Желаю успехов! Спасибо за внимание!