Продолжаем излагать сюжеты из теории множеств - на популярном уровне. Начальная статья цикла здесь.
Числа и операции
Спросите у математика, что такое число - он ответит: не знаю, такого общего понятия нет. Можно объяснить, что есть по отдельности натуральные числа (было предметом предыдущей статьи), рациональные, комплексные и так далее.
Тем не менее, числа - не только множества, которые как-то вводятся (а как именно - темы дальнейших сюжетов). Для некоторых будет неожиданностью узнать: числа возникают в математике не в качестве аналогов каких-то реальных объектов, не как результаты счета и измерения (хотя первоначальные идеи исходят, несомненно, оттуда). Числа связаны с операциями. Они являются результатом предельно возможного расширения сферы применимости операций.
Операции с числами - и есть то самое, что дает возможность говорить про числа "вообще". С операций мы теперь и начнем.
Сложение и умножение
Пусть дано некоторое множество {a, b, c, ...} - "числовое", его элементы называем числами. Вводим для чисел операцию "сложение", которая должна обладать следующими свойствами:
- c = a + b всегда существует, т. е. c это тоже число;
- a + b = b + a (коммутативность);
- (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);
- a + a₀ = a для любого a, где a₀ – особое, выделенное число, называемое «нулем».
Вводим также операцию "умножение", которая должна обладать следующими свойствами:
- c = a · b всегда существует, т. е. c это тоже число;
- a · b = b · a (коммутативность);
- (a · b) · c = a · (b · c) (ассоциативность);
- a · a₁ = a для любого a, где a₁ – особое, выделенное число, называемое «единицей».
Пусть вдобавок выполняется свойство дистрибутивности:
(a + b) · c = a · c + b · c.
От общего к частному
Операции сложения и умножения натуральных чисел известны по школе, их здесь разбирать ни к чему. Хотя такой разбор не был бы тривиальным! Ясно, что для натуральных чисел «единица» это единица (a₁ = 1), а «ноль» это просто ноль (a₀ = 0). Впрочем, иногда ноль не приписывают к натуральным числам - тут вопрос удобства, либо традиции.
Удобно ввести также обратные операции: например, разностью c = a - b будем называть число c такое, что b + c = a. Для натуральных чисел обратные операции необязательно реализуемы, к примеру, число 3 - 7 не существует.
От натуральных к целым
Вообще идея, что количество человек и количество яблок может быть выражено единообразно, была значительным этапом развития мышления. Следующим важным рубежом должно быть осознание того, что числа должны отвечать не на вопрос «сколько», а на вопрос «который по порядку». Именно отсюда исходит аксиоматика натуральных чисел.
В данном контексте, к примеру, число 2 – не два яблока или две счетные палочки. «Два» – следующее число после начального (единицы).
Такой подход позволяет преодолеть психологический барьер введения отрицательных чисел и нуля: дескать, числа "не настоящие" (непонятно, какое количество означают). Напротив, без перехода к целым числам – единица неестественно выпадает из общего строя как число, не имеющее предыдущего.
Ну а сам такой переход у нас впереди.
