Вероятность. Часть 2

Итак, почему же несмотря на отрицательное математическое ожидание, выигрывать всё же возможно? Всё дело в том, что ещё одной важной характеристикой случайной величины является дисперсия. Давайте же рассмотрим её поближе. Возьмём нашу любимую монетку, сходим с ней в магазин и купим там пару кубиков. Потому что с кубиками нагляднее. Начнём мы эти кубики бросать и записывать, какие числа у нас получаются. 2 и 12 будут очень редко. И это логично, поскольку для выпадения этих чисел должна реализоваться вероятность (помним из прошлой лекции, каким образом?) 1/6*1/6=1/36. Давайте заодно посчитаем и все остальные возможности. И, конечно же, матожидание броска.

2 (1+1) — 1/36

3 (1+2;2+1) — 2/36 = 1/18

4 (1+3;2+2;3+1) — 3/36 = 1/12

5 (1+4;2+3;3+2;4+1) — 4/36 = 1/9

6 (1+5;2+4;3+3;4+2;5+1) — 5/36

7 (1+6;2+5;3+4;4+3;5+2;6+1)— 6/36 = 1/6

8 (2+6;3+5;4+4;5+3;6+2) — 5/36

9 (3+6;4+5;5+4;6+3) — 4/36 = 1/9

10 (4+6;5+5;6+4) — 3/36 = 1/12

11 (5+6;6+5) — 2/36 = 1/18

12 (6+6) — 1/36

Если мы сложим суммы бросков, помноженные на их вероятности, то полученное матожидание будет равно 7. И что нам это даёт? Знание о том, что в игре, где потребуется выбрасывать на кубиках число, строго большее или меньшее 7, лучше не участвовать

Если, конечно, не взять в расчёт дисперсию. Что же это за птица, и с чем её едят? Если почитать научные определения, то всё становится совсем непонятно. Поэтому продолжу объяснять на примере с кубиками. Допустим, мы рисковые парни и делаем ставку на то, что выкинем на кубике 8 или больше. Шанс нашего выигрыша равен в этом случае сумме всех вероятностей для чисел больше 7. Поскольку невозможно выбросить на кубиках одновременно и 8, и 5, а следовательно эти события независимы. 5/36+4/36+3/36+2/36+1/36=15/36=5/12

Это чуть меньше, чем половина, поэтому при бесконечном количестве бросков мы проиграем ставку в размере 1/6 неких условных единиц. Но бросков у нас не бесконечное количество. А ставка не кот Шрёдингера, и не может быть одновременно выиграна и проиграна. И давайте же понаблюдаем за поведением этой самой ставки.

Если у нас один бросок, то мы можем получить -7/12 или +5/12 (помним же, что умножаем выигрыш на его вероятность?). Логично. Если броска два, то мы можем как выиграть, так и проиграть любой из них. И тогда мы имеем уже четыре исхода:

-2*49/144, 0*35/144, 0*35/144, +2*25/144

Почему именно так? Потому что выиграть первый и проиграть второй не то же самое событие, что проиграть первый и выиграть второй. Хоть общий результат у них один и тот же. Если вы хотите немного напрячь мозг, то посчитайте аналогичный ряд случаев для трёх бросков. Подскажу, что у трёх бросков будет восемь исходов

А теперь считаем... Нет, всё ещё не дисперсию. Считаем пока просто отклонения для каждого случая от матожидания. Отклонения считаются без учёта знака, нам не важно, в какую сторону они происходят. Итак, случай одного броска, отклонения равны |-7/12-(-1/6)|=5/12 и |5/12-(-1/6)|=7/12

Что вполне логично. При одном броске и равенстве выигрыша и проигрыша. При двух бросках картина немного интереснее:

|-49/72-(-1/6)|=37/72

|0-(-1/6)|=1/6

|0-(-1/6)|=1/6

|25/72-(-1/6)|=37/72

Здесь уже отклонения симметричны. И чем больше бросков (при одинаковом выигрыше и проигрыше), тем симметричнее отклонение. Даже если у нас не кубики, а более сложные генераторы вероятности. А вот теперь наконец-то перейдём к этой самой дисперсии.

Возьмём наши отклонения и посчитаем их среднее значение. Для одного броска это будет 1/6, для двух бросков это будет (37/36+2/3)/4 = (37+24)/144 = 61/144

Дисперсией будет корень из этого среднего отклонения. Почему корень? Потому что с ростом количества бросков количество возможных случаев растёт не линейно, а по степенной функции, но при этом количество исходов этих случаев (+2, 0, -2 для двух бросков) частично этот рост компенсирует. В итоге получается обычный квадрат

Таким образом, для одного броска мы имеем дисперсию 1/√6, а для двух бросков √61/12

Для того, чтобы считать дисперсию в случае большого количества бросков, есть формулы, которые вы можете найти в интернете. Но что же в итоге эта дисперсия даёт?

А даёт она, ни много, ни мало, указание на то, когда играть ещё стоит, а когда уже пора соскочить. При росте количества бросков в серии дисперсия медленно, но верно (а иногда и быстро) уменьшается. Выиграть методом удвоения ставки (ну, или соответствующего увеличения её при других вероятностях и выигрышах) можно лишь до тех пор, пока матожидание серии (отрицательное, как мы помним) в сумме со средним отклонением (или с квадратом дисперсии) будет выше 0. 

Домашнее задание. Чтоб не расслаблялись. Посчитать, после какой неудачной серии стоит валить из казино. Вероятность выигрыша на чёт/нечет или красное/чёрное равна 18/37. Удачной игры. Верьте в себя и пользуйтесь наукой