Очень часто одна задача включает в себя несколько тем одновременно. Например область знаний и метод решения. В данном случае задача по теме многочлены, но решать мы ее будем мощным методом от противного.
Условие:
Существуют ли такие три многочлена f1, f2, f3, что у каждого из них и у суммы f1+f2+f3 имеется хотя бы по одному корню, а у трех попарных сумм f1+f2, f2+f3, f3+f1 корней нет?
Решение:
Предположим, что такие многочлены существуют. Так как многочлены g1=f1+f2, g2=f1+f3, g3=f2+f3 не имеют корней, то каждый из них принимает либо положительное, либо отрицательное значение на всей числовой оси.
Все три многочлена g1, g2, g3 не могут иметь один и тот же знак. Действительно, если, скажем, g1>0, g2>0, g3>0, то f1+f2+f3=(1/2)(g1+g2+g3)>0, и f1+f2+f3 не имеет корней. Противоречие.
Пусть теперь два из многочленов g1, g2, g3 одного знача, а третий — другого, скажем, g1>0, g2>0, g3<0. Тогда f3=(1/2)(g1+g2-g3)>0, то есть f3 не имеет корней - так же получили противоречие.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
