Надеюсь, вы ознакомились с доступным введением в теорию множеств (начало здесь). Тогда идем дальше.
Что такое натуральные числа? Интересный вопрос. Школьникам объясняют, что натуральные числа (и ноль) возникают просто при счете предметов. Во "взрослой" математике числа постулируются аксиомами Пеано.
Впрочем, в последующее время исходным, фундаментальным понятием в математике стало множество. Нам предстоит познакомиться с другой, удивительной аксиоматикой натуральных чисел - исключительно через множества.
В принципе, натуральные числа это следование элементов (неважно, каких) одного за другим. В таком контексте достаточно указать:
- что считать первым элементом в ряду;
- если дан некоторый элемент, то – как образовать следующий.
Итак, считаем, что натуральные числа это множества (больше у нас как бы «ничего нет»). Тогда вот ответы по пунктам:
- первым элементом - нулем - называем пустое множество;
- если дано число (то есть, множество) N, то следующим за ним числом будет объединение множества N с множеством {N}, содержащим единственный элемент N. В фигурных скобках принято указывать состав множества.
Странно, да? Просто надо помнить, что множество N и множество {N}, содержащее N в качестве единственного элемента - не одно и то же!
Что же получается?
- Как сказано, первый элемент ряда (ноль) это пустое множество Ø.
- Следующий элемент: предыдущее множество Ø объединяем с множеством {Ø}, содержащим единственный элемент Ø. Получаем попросту {Ø}. Мощность множества - 1.
- Следующий элемент: предыдущее множество {Ø} объединяем с множеством {{Ø}}, содержащим единственный элемент {Ø}. Получаем {Ø, {Ø}}. Мощность - 2 (два элемента). И так далее.
«Количество элементов» (мощность множества) каждый раз увеличивается на один, поскольку объединяемые множества не перекрываются, ведь в множество не входит в качестве элемента оно само.
Заметьте, не задействовано ничего, кроме понятия множества, и еще универсального пустого множества (которое всегда к услугам, не нуждаясь в конструировании: «множество чего?»). Постоянно в наличии объект, который можно включить в состав множества, чтобы получить очередное «число». А привычные числа – мощности наших множеств.
Все это может показаться странным, непохожим на 0, 1, 2, 3… Но, в конце концов, арабские цифры – просто символы, которые могут быть заменены какими угодно. А здесь показано, что из множеств, по существу как бы «ничего не содержащих», можно строить ряд неограниченной продолжительности, причем каждому «числу» указать следующее за ним. Что и требовалось.
Между прочим, само существование множества натуральных чисел, вот так определенных, является в теории аксиомой: аксиома бесконечности, из которой следует существование по меньшей мере одного бесконечного множества.
Тему о числах (элементарную, как представляется), мы, возможно, продолжим далее.