Дифференцирование – тема насколько важная (без неё немыслим современный математический анализ), настолько же и сложная в понимании. Причём, трудности возникают даже не в применении этого метода, а в самых глубинных его основаниях. Сын попросил рассказать ему о смысле (нет, не так,- о СМЫСЛЕ) дифференциального исчисления. Что оно из себя представляет, и для чего оно нужно.
Сразу скажу, что до конца этот самый СМЫСЛ не понимали и его первооткрыватели, Ньютон и Лейбниц. Что такое дифференциал, каков геометрический смысл бесконечно малой величины, для чего необходимо дробить график функции? Это просто смена масштаба? Тогда это глупая идея. Ввиду непонятности смысла дифференциала эта идея в научной среде того времени вызывало бурное неприятие. Дифференциал – это ноль? Даже Великий Эйлер называл дифференциал нулём. Ну, так если это «ноль», то так и пишите – «ноль». Тогда любое прибавление к такому нулю ничего не изменит. А если это не «ноль», то ЧТО? Но метод работал, а СМЫСЛА не было.
Необходимо сказать, что и нынешнее поколение преподавателей и представителей науки не особо утруждают себя поисками такого СМЫСЛА. Суть метода обычно преподносится поверхностно,- «сама по себе идея дифференцирования заключается в том, чтобы поделить на мелкие части, проанализировать свойства, а затем осуществить какую-либо обработку». Это – примитивная идея «смены масштаба», которая никакой плодовитости методу не даст (математику не обманешь).Так что же такое дифференциал, и для чего требуется дробить функцию (её график)?
Я сделаю небольшое отступление, чтобы дальнейшее изложение было Вам понятно. Основная цель моего канала – рассказывать вдумчивым (нет, не так,- ВДУМЧИВЫМ) читателям о различении МАТЕРИИ и ВЕЩЕСТВА. Вещество трёхмерно, на нём реализуется геометрия Евклида, а описывается Оно системой вещественных чисел. Материя же, в отличие от Вещества, уже четырёхмерна, на ней реализуется проективная геометрия, а описывается Она системой комплексных чисел. Весь атомный мир – это Материя, Вещество же начинается с молекулярного уровня. Отождествлять эти две важнейшие философские категории могут лишь «сопливые курсистки», да некоторые обожествляемые современной наукой кумиры.
По причине того, что мир Материи не сводим к миру Вещества, эти две категории проявляются в нас (в любом физическом пробном теле) как пространство внешнее (Вещество) и пространство внутреннее (Материя). Представлять их бытие лишь «сменой масштаба» пошло и не правомерно.
Для правильного понимания СМЫСЛА дифференцирования необходимо правильное понимание Пространства. Деятели, вещающие, что смысл дифференцирования в «дробёжке ради дробёжки», ничего удивительного в Пространстве не видят, воспринимая его лишь как «пустоту», вместилище таких же пустых вещей, явлений, идей.
Необходимо пояснить, что не верное восприятие идей дифференцирования лишь в качестве «смены масштаба» порождает идею раздробленности не просто как самоцель, а как Верховный Принцип, заложенный во всём Творении. Обособленность (дифференцированность) «всего от всего» пробуждает к жизни самые низменные человеческие пороки: «человек человеку – волк», «выживает сильнейший», «ничего личного», «секс без обязательств», «я не просил меня рожать» и т.д.
Чтобы правильно понять дифференцирование, необходимо уяснить, что Пространство – не «пустота», оно имеет подвижную структуру кватерниона и формирует разные числовые системы с соответствующими алгебрами. Более того эта структура как раз и подразумевает принцип разделения пространств на пространство внешнее (действительная r-компонента кватерниона) и пространства внутренние (мнимые i,j,k-компоненты).
Прежде чем перейти к сути изложения бесконечно малых, хочу отметить вот ещё что. Патриархам дифференциального исчисления вполне простительно как отождествление Материи и Вещества (ибо тогда ещё научный мир не знал о существовании атомных структур), так и не различение внешней сути пространства (где реализуется метрика и геометрия) и внутренней сути (которая задаётся топологией). Не были им известны и понятия кривизны пространства, да и теория чисел находилась в зачаточном состоянии. Кватернион ещё не был открыт, и о р-адических и гипердействительных числах они ещё ничего не знали. А первые зачатки проективной геометрии воспринимались в те времена лишь как художественное свойство перспективы. Но, вот лавочникам и клеркам 19-20 веков (как, впрочем, и 21 века) такое невежество уже не простительно.
Да, вот ещё что, пожалуй самое важное! Такую структуру Пространства с его делением на внешнее и внутреннее воспринимают и все числовые системы. Про гиперкомплексную систему кватерниона я уже рассказал, её копируют и комплексные числа (r+i), но, что особенно интересно, и числа вещественные и р-адические. Они и не могут быть другими, ибо мир наш строится на подобиях. Важно ещё и то, что способ проявления числовых систем тоже разный, одни из них дискретны (комплексные числа), другие непрерывны (вещественная числовая ось).
Здесь ещё можно отметить то свойство ментальности «передового научного сообщества», которое воспринимает числовые системы (ЧИСЛА) абстрактно и отвлечённо. В своё время Пифагор провозгласил: «Всё есть ЧИСЛО!». Его не услышали. Числам отказано в "физичности".
Итак, что же такое дифференциал, и что происходит с пространством в случае его дискретизации? Когда начинаешь «рубить» пространство, ты производишь с ним такое же арифметическое действие как деление. Помните Зенона, который утверждал, что Ахиллес никогда не догонит черепаху (приходится лишь удивляться мудрости древних). С каждым новым делением числовой оси черепаху догнать всё сложнее. Дело всё в том, что операция деления порождает новый класс чисел – гипердействительные (а если в качестве делителя использовать полиномы, основанные на простых числах, то - р-адические), в которых чем больше делитель, тем оно меньше. В предельном случае, когда в результате такого деления достигается Планковская длина, гипердействительное число становится как бы комплексным, у него появляется аналог мнимой части (его обозначают ε).
Характерной чертой гипердействительных (и р-адических) чисел является то, что в их пространстве перестаёт работать наша обычная евклидова метрика с аксиомой аддитивности Архимеда-Евдокса. На таких малых расстояниях она обращается в ультраметрику. Не вдаваясь в подробности, скажу, что принцип её действия совершенно другой (если в нашей привычной метрике «бОльшее» содержит «мЕньшее», то в ультраметрике – наоборот). И расстояния там перестают складываться, но лишь «содержаться».
При приближении на такие расстояния трансформируется не только действительная часть вещественного числа исследуемой нами кривой (графика нашей функции). Из внутреннего пространства начинает выходить наружу «спящая» мнимая компонента (иначе как объяснить наличие комплексных корней у вполне себе вещественных полиномов). В предельном случае достижения дифференциалом статуса бесконечно малого, такой выход осуществляется полностью, а само Число из вещественного и непрерывного превращается в комплексное дискретное. Т.е. дифференцированием Число переводится из одного класса в совершенно другой класс. А ВЕЩЕСТВО в точке дифференцирования обращается в МАТЕРИЮ. Мир в этой точке становится четырёхмерным.
А что же происходит там с точки зрения геометрии? При предельном переходе вещественная точка в виде действительной сферы выворачивается, трансформируясь в мнимую сферу. При этом всё (нет, не так,- ВСЁ) окружающее нас действительное Пространство Вселенной проецируется всецело в эту самую бесконечно малую точку. В этом, кстати, проявляется смысл Канторовской мощности множества. Мощность Вселенной оказывается равной мощности этой точки.
Так как у комплексного числа и действительная и мнимая компоненты равноправны (они обе выходят и проявляются во внешнем пространстве), то такая точка проявляется равноправно и ОДНОВРЕМЕННО и в виде сферы с бесконечным числом диаметров, и в виде псевдосферы с таким же бесконечным числом образующих. Только на таких расстояниях даже сферы становятся необычными. У такой сферы длина любой большой её окружности становится равной диаметру сферы (число Пи «исчезает», а трансцендентность становится не потаённой).
Вследствие равенства дуги и диаметра, касательная к окружности (её смысл быть перпендикулярной диаметру), вернее, весь бесконечный пучок таких касательных становится параллельным диаметру. Необходимо отметить, что при таком переходе в квантовую область геометрия такого Пространства становится проективной, ввиду чего и сам диаметр и весь пучок прямых приобретают статус проективных прямых.
В проективном мире нет такого понятия как «расстояние», но лишь соответствия. Поэтому такой пучок проективных прямых в полном смысле слова (реально) содержит в себе ВСЮ Вселенную в многочисленных её трансформациях и процессах (не спроста же "работает" биекция Канторовской мощности). И передача такой трансформации происходит мгновенно, ибо такой категории как ВРЕМЯ там тоже нет (Величайшему - привет).
Проективная прямая принципиально (это разные классы) отличается от нашей привычной евклидовой вещественной прямой не только большей мерностью пространства, но его квантованностью. И если вещественная прямая непрерывна (содержит бесконечное число своих точек), то проективная прямая дискретна (у неё лишь две точки, воспринимающие такой скачок). Проективные прямые увидеть невозможно. Можно лишь условно провести их как линии перспективы, соединяющие ближние и дальние объекты с Наблюдателем (причём, и в "ближнем", и в "дальнем" случае прямая будет одна и та же, ибо, ещё раз подчеркну, расстояний ТАМ нет). Наблюдатель, поэтому – важная часть проективного мира (нет Наблюдателя, теряется смысл проективной прямой).
И ещё, операцию дифференцирования не стоит воспринимать в отвлечённом смысле, как искусственное дробление (смысл тогда ускользает). Любое физическое явление, будь то динамика, или термодинамика, с неизбежностью проходит цикл такого дробления, и это – естественный физический процесс. А иначе, какого рожна работали бы принципы дифференцирования в математических моделях, процессах и образцах техники с самым широким спектром применения. Если бы не "работало" дифференцирование, не было бы и оснований математики, как, впрочем, не было бы и самой математики.
Так что такое дифференцирование, и что такое дифференциал? Это точка, где "конечное" встречается с "бесконечным". Это перевод Пространства дифференциала в совершенно другой класс (не случайно же Дифференциа́л (от лат. differentia – разность, различие)). Вот и в механике, ка, впрочем и газо-гидродинамике, дифференциал (как механизм) взаимосогласовывает разные входящие потоки или вращения в единый исходящий. Для чего это? Тогда числовые системы взаимопереходят друг в друга, и функция "оживает", и процессы начинают протекать,- вода течёт, огонь горит, звёзды светят, галактики вращаются, мы - радуемся.
Всего Вам доброго.
