Когда мы говорим о задачах с параметром, мы должны учитывать, что эта тема вбирает в себя практически все темы школьной алгебры. Однако, есть такие большие разделы, которые в обычной школьной математике изучаются довольно поверхностно, но которые при появлении параметрических задач показывают свою силу.
Одна из таких тем — Модули.
Видео на тему модулей мы сняли довольно давно. Из 22 выложенных на данный момент разделов для подготовки он является пятым по счёту.
При самостоятельной подготовке по нашим разборам ученики часто недоумевали, зачем её проходить так рано, если она никак не используется в 13 и 15 задачах из ЕГЭ, с которых обычно советуют начинать подготовку ко второй части экзамена. Однако, если мы говорим про комплексную вузоматическую подготовку с прицелом на высокие результаты экзаменов и олимпиад, то уместно начинать работу с модулями как можно раньше.
Вкратце пройдёмся по ключевым техникам работы с модулями. По некоторым из них мы позже напишем более развёрнутые статьи.
Работа с модулями делится на пять больших этапов.
Предварительное знакомство
Здесь вам нужно понимать, что такое модуль, его основные определения и свойства. Причём не только формальные правила, но и их практическое эффективное применение в простых задачах. Главное свойство модуля для использования на этом этапе — его неотрицательность.
Схемы
Чтобы работать c этих подразделом нужно предварительно научиться понимать записи этих самых схем. То есть понимать, что такое совокупность и система, чем они отличаются и в целом, что такое множество решений. Простой тест на понимание различий: в системе х=1, x=0 – нет корней; в совокупности х=1, x=0 — два корня.
Что же касается схем, то нужно понимать, что это такое, как их использовать, понимать их и уметь выводить, если забыли точную структуру.
Метод интервалов
Обычно школьники в каком-то виде умеют пользоваться методом интервалов, так как он довольно алгоритмизирован. Для более чёткого понимания этого метода нужно хорошо понимать важность знака подмодульного выражения. Этот метод хорошо тренировать на решении уравнений, а впоследствии и неравенств. При успешном его использовании в таких задачах не возникнет проблем с раскрытием модулей при построении кусочных функций. Даже для сложных случаев, когда подмодульное выражение содержит выражение, содержащее две переменных.
Особенность модулей для графиков
Помимо стандартного построения графиков с модулями через метод интервалов, есть и специфические приёмы работы.
В первую очередь это касается использование чётности модуля для графиков. Нужно знать особенности построения функций y=f(|x|) и y=|f(x)|.
Также полезно натренировать использование многократного смещения и симметричного отображения для модулей у функций вроде y=||||x|-1|-4|-3|
И еще желательно знать, как выглядят на плоскости самые популярные множества точек, заданных соотношениями вроде |x|+|y|=1, |x|-|y|=1. Их нужно несколько раз построить самим, а потом вы примерно запомните их вид и ускорите процесс построения. Как с квадратными уравнениями: вы их быстро решаете не потому, что выучили наизусть все коэффициенты и соответствующие им корни, а потому, что решая их часто видели повторяющиеся примеры и они вам засели в голову.
Не обязательно все такие конструкции прорабатывать, но как выглядит |x|+|y|=1 вы обязаны знать. Само собой разумеется, что эти же конструкции нужно знать не только для равенств, но и для неравенств. Ну и конечно проверять свои построения в Desmos.
Особые свойства модулей
И наконец есть особенные соотношения, которые в целом не очень сложные, однако часто являются критическими для эффективного решения задач.
Например, соотношение |x|²=x². Это очевидное равенство даёт нам возможность делать эффектную замену переменной для модулей.
Другие интересные применения модуля пока просто перечислим:
а) |a|-|b|∨0 ⇔(a-b)(a+b)∨0 (метод замены множителей для модулей);
б) |a|+|b| = |a+b| ⇔ ab≥0 (числа а и b одного знака или хотя бы одно из них =0)
в) |a|+|b| = |a-b| ⇔ ab≤0 (числа а и b разных знаков или хотя бы одно из них =0)
г) |a|+|b| = 0 ⇔ a=0 и b=0 (метод оценки)
д) |ab| = |a||b|
