В середине 80-х журнал «Квант» объявил конкурс, какая задача войдет в задачник под номером 1000. Редакция получила много интересных задач, а выиграла задача, которую придумал Архимед.
В дугу AВ окружности вписана ломаная АМВ, состоящая из двух отрезков. Докажите, что основание перпендикуляра Н, опущенного из точки К середины дуги АВ на больший отрезок АМ, делит ломаную пополам. То есть AH=HM+MB
Первый способ
Продлим АМ на длину МВ до точки В'. Это стандартный ход, когда у нас есть сумма двух отрезков, не лежащих на одной прямой — на продолжении одного из отрезков строим отрезок, равный другому.
∠BMB'=180°–∠AMB=180°–∠AKB=2∠KBA
В то же время ∠KMA=∠KBA, значит прямая КМ будет биссектрисой в треугольнике MBB'. Отсюда КМ перпендикулярно ВВ', и КВ=КВ'.
Но КВ=КА, значит треугольник АКВ' равнобедренный, то есть КН — его высота и медиана. Значит АН=НВ'=НМ+МВ.
Второй способ
Немного сменим обозначения. Пусть теперь в дугу АВ вписана ломаная АСВ. Р — середина дуги, М — основание перпендикуляра. Доказываем, что АМ=МС+СВ.
Отразим Р симметрично относительно центра окружности. Опустим перпендикуляр Р'М' на АС и продлим до пересечения с окружностью — точки М''.
∠САВ=∠М''Р'Р, поскольку их соответствующие стороны перпендикулярны. Значит равны и хорды СВ=М''Р=М'М.
Осталось доказать, что МС=АМ' в силу симметрии окружности.
Третий способ
Продлим РМ до пересечения с окружностью в точке S.
∠ASP=∠PSF, поскольку Р — середина дуги АВ. Значит треугольник AFS — равнобедренный и АМ=MF.
∠CAS=180°–∠CBS=∠CBF, значит треугольник CBF — тоже равнобедренный и CF=CB.
Интересно, что журнал «Квант» приводит первый способ решения и тригонометрический. Видимо, второй и третий способы никто из читателей не придумал.
Источники
Еще несколько доказательств на английском языке
Доказательство теоремы Пифагора через теорему о сломанной хорде
Подписывайтесь на канал, не пропускайте другие интересные теоремы.