В этой статье я разберу еще одну задачу, в которых возникают две пересекающиеся окружности. Окружности обычно дарят много равных углов — вписанные, опирающиеся на одну дугу, угол между касательной и хордой, стягивающей эту дугу. Эти равные углы и приводят к решению задачи.
Первая задача на две окружности
Вторая задача
На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD выбраны точки X и Z соответственно. Отрезки CX и BZ пересекаются в точке Y. Оказалось, что пятиугольник AXYZD вписанный, докажите, что AY=DY.
Решение
Трапеция и вписанный пятиугольник — давайте попробуем все данные применить. Забудем ненадолго про точку Y и посмотрим, что нам дает трапеция и вписанный четырехугольник AXZD.
Углы A и B в сумме 180°, потому что ABCD — трапеция.
Углы A и XZD в сумме 180°, потому что AXZD вписанный.
Отсюда два вывода: угол A равен углу XZC и четырехугольник BCZX тоже вписанный, потому что два его противоположных угла дали в сумме 180°.
Теперь вспомним про точку Y. Посмотрите на чертеж и поймите, что все углы одного цвета равны:
Пусть угол A равен a, угол D равен d, голубые углы — x, а синие — y.
Вычислим синий угол из треугольника BCZ: угол С равен 180°−d, угол BZC равен a−x, значит синий угол равен 180°−(180°−d)−(a−x)=d−a+x.
Теперь найдем угол YDA = d−(d−a+x)= a−x.Ура, в треугольнике AYD равны углы при основании.
Как придумать такое решение
Половину решения я придумала, пытаясь нарисовать правильный чертеж.
Мне надо одновременно соблюсти несколько условий: трапеция, вписанный пятиугольник, точка Y — пересечение CX и BZ.
В условии задачи точки X и Z появились после отрезков CX и BZ, я же не рисую эти отрезки. Для меня важно, чтобы AXZD оказался вписанным, поэтому я выбираю X и Z как пересечения сторон трапеции с окружностью, проходящей через A и D. На самом деле этот чертеж я рисовала еще и так, чтобы и точка Y оказалась на своем месте.
Вопрос читателям: в каком порядке надо строить чертеж к этой задаче, чтобы он получился правильным?
