Спойлер: никак.
Если вы школьник, то такие страшные вещи нужно, прежде всего, упрощать.
А уж потом думать, как найти корни у более простого уравнения.
У нас в арсенале есть всего два оружия в борьбе с уравнениями высших степеней - на два варианта развития событий
Когда всё не так уж плохо
- Да, для кубических есть ФСУ и группировка, которые спасают школьников примерно в 55% случаев. Иногда возможна замена переменной:
Всё очень красиво и просто. Казалось бы, что ещё нужно для счастья?
Но что вы будете делать, если вам попадётся вот такая страшилка?
3x⁴-2x³-8x²-x+2=0
Когда всё плохо
Скорой помощью в таких случаях является теорема Безу, сводящаяся к методу, также известному как "Метод деления многочленов в столбик".
Сразу скажу, что ещё есть достаточно известная "схема Горнера", и, если вы захотите, можете пользоваться и ей. Однако я не её фанат, а потому рассматривать её в данной статье не буду. На мой взгляд, гораздо легче посчитать, чем забивать себе мозг, запоминая кучу коэффициентов для таблицы.
Решать, впрочем, вам. Правильное использование различных алгоритмов ведёт к одному и тому же результату.
А мы начинаем освоение теоремы Безу (следствия из него, если уж быть совсем дотошным грамотным) с уже знакомого нам прекрасного уравнения четвёртой степени:
3x⁴-2x³-8x²-x+2 = 0
На самом деле ничего прекрасного в нём нет, потому что ни черта не понятно, как к нему подобраться, чтобы разложить на что-то более или менее удобоваримое.
Сейчас исправим!
Прежде всего мы:
1. Найдём корень многочлена
Как мы это сделаем?
Очевидно, пока у нас нет никаких средств, и мы можем воспользоваться только перебором корней. Нужно найти такое значение х, при котором равенство будет верным (0 = 0).
Только мы не будем перебирать и подставлять все значения от - ∞ до + ∞ , мы ж умненькие. Схитрим, обманем систему и ограничим нашу область поиска делителями свободного (от переменных) члена - в нашем случае это 2.
Число маленькое, делятся на него не так много чисел, и за это мы должны громко и от всей души поблагодарить Бога Математики. Согласитесь, если бы вместо 2 у нас было, скажем, 24345, было бы гораздо хуже.
А тут: ± 1; ± 2. Всего-то четыре варианта!
(1): 3 - 2 – 8 – 1 +2 = 0
-6 ≠ 0 - не подошло, едем дальше.
(-1): 3 + 2 - 8 + 1 + 2 = 0
0 = 0. Всё верно, даже остальные два делителя подставлять не пришлось!
Самое время задать вопрос, зачем на всё это нужно. Дело в том, что, по теореме Безу, многочлен P(x1) (P в нашем случае — 3x⁴-2x³-8x²-x+2 = 0, а х1 — наш подобранный корень -1) делится без остатка на (x-x1) (у нас — (x+1)), тогда и только тогда, когда P(x1)=0.
Нам важно, чтобы был именно результат без остатка. Почему — вы поймёте сейчас.
2. Собственно, делим.
Хотелось бы обратить внимание на несколько моментов:
а) Всё работает на уничтожение главного босса — сначала это 3x⁴, потом — -5х³ и далее по более низким званиям. Мы как бы стараемся превратить наш x в делителе в злобного двойника, только с противоположным знаком, в результате чего остаётся пустота.
б) Очень, очень внимательно со знаками!
Посмотрите, например, как выглядит второе действие, переведённое в строчку:
(-5x³-8x²)-((-5x³)-5x²) = -5x³-8x+5x³+5x² = -3x² (далее сносим -х)
Тут очень много минусов, и это может вас запутать. Лучше перепроверяйте на черновике действия в столбике, записывая их в строчку, как сейчас.
Ну, собственно, вот и наш ответ:
3x⁴-2x³-8x²-x+2 = (3x³-5x²-3x+2)(x+1)
Перемножаем между собой делитель и частное — и получаем красиво разложенный многочлен.
Кстати, наше частное аналогичным образом можно разложить уже до квадратного уравнения — попробуйте сделать это и напишите в комментариях, что у вас получилось!
Но что было бы, если бы нам не так сильно повезло? Бывали же, например, случаи, когда мы делили одно число на другое, и получали некрасивый ответ с остатком. Что будет здесь?
Допустим, есть многочлен Z, который при повторении алгоритма, приведённого выше, даст нам тот же делитель, то же частное и остаток 8.
Z = (3x³-5x²-3x+2)(x+1) + 8
Выглядит не очень, правда? А для дроби это вообще смерть в чистом виде — о сокращениях в числителе и знаменателе можно забыть.
Поэтому нам так важно соблюдение условия P(x1)=0. Надеюсь, вы уловили этот момент.
Думаю, на этом можно закончить с преобразованием рациональных выражений. Мы рассмотрели только самые сложные (как оказалось, не такие уж) и интересные моменты, а учить вас находить дискриминант я смысла не вижу, вы же у меня умные.
Куда больше проблем с корнями — уравнения из второй части с ними вообще вызывают прямо-таки ИРРАЦИОНАЛЬНЫЙ ужас у некоторых будущих выпускников.
Но всё это поправимо, если вы нажмёте на кнопку подписки, чтобы не пропустить будущие материалы, связанные с корнями!
