Даже если школьники много работают, некоторым математика все равно не дается. Тому есть много причин, и одна из них в том, что познавательные стратегии, которые хороши на бытовом уровне, не срабатывают в математике. Чтобы успевать в математике, надо отказаться от привычного жизненного опыта и создать новый -- математический.
Что же в математике особенного?
1. В быту мы совершенно иначе формируем понятия. Мы формируем их быстро: если вы видели 2-3 курицы, то уже представляете, что это за птица. А затем по мере надобности мы это представление уточняем: Считать ли курицей петуха? Или цыпленка? Или яйцо? Или тушку в магазине? А бройлера? И т.д. В зависимости от ситуации мы по-разному можем ответить на эти вопросы. Такой подход имеет свои плюсы: мы можем быстро начать общаться с другим человеком, а границы понятия выяснятся из контекста. При необходимости мы можем зафиксировать точную формулировку, юристы так и делают, но такой подход требует слишком много времени и сил.
А в математике не так. В хорошем учебнике вам предъявят 3-4 примера чего-либо (функция, пятиугольник, разделить), и вы быстренько формируете первоначальное представление. И по привычке многие думают, что все поняли. В быту на этом все бы и закончилось, а в математике только начинается: надо еще сформулировать строгое определение понятия, уточнить его свойства, признаки, границы применения, привести неочевидные примеры и контрпримеры. Хорошо бы еще задачек порешать -- только после этого начнется понимание.
2. Когда в быту мы принимаем решения, то часто не продумываем все мелкие детали. Нам важнее принять решение быстро и действовать дальше. Нам не нужны безупречные основания, достаточно более-менее внятных. Общее направление ясно – и можно двигаться дальше; с деталями разберемся по ходу дела. Конечно, возможны время от времени ошибки, но это не такая большая цена за скорость принятия решений. Вижу небо, затянутое тучами, -> наверное, будет дождь -> беру зонтик, выходя из дому. Может, дождя и не будет, но мне не нужно точное знание для принятия решения.
В математике важно, чтобы рассуждения были логически безупречны, всякая деталь существенна.
3. В быту мы иногда действуем по аналогии, подражая другим и не выясняя причин, часто это бывает эффективно. Малыши-дошкольники обучаются, подражая старшим, это хорошо и правильно.
А когда эту стратегию переносят в математику, получается не очень. Подражая и не вникая в смысл, можно выдавать решения простеньких задачек. Но такой опыт только помешает, когда дело дойдет до сложных задач.
4. Нельзя пропустить какой-то этап в изучении математики, потому что одно следует из другого. Ученики часто обманывают себя и учителя, уверяя, что знают материал, все допущенные ошибки случайны и можно не дорабатывать проблемную тему. Несколько таких пробелов в основах, и все, двигаться дальше невозможно. Обмануть себя -- легко! Но потом очень трудно разобраться, в каком месте пробелы. В результате вместо твердой базы – манная каша.
5. Традиционно программа младшей школы ориентирована не на подготовку к старшей школе, а на ликвидацию безграмотности, на овладение алгоритмами счета, решения простейших уравнений и текстовых задач. (В современных программах наблюдается некоторый прогресс в этом отношении.) Человечек приходит в школу и несколько лет занимается тем, что заучивает правила, тупо их применяет и думает, что это и есть математика. Потом он приходит в старшую школу и по инерции делает то же самое, тем более что ничего другого не умеет. И если ученик решал простые задачи безумно, по заученным алгоритмам, то со сложными уже не справится.
6. Математика очень абстрактна, и чем глубже, тем абстрактнее она становится, тем дальше от повседневного опыта. Для серьезной математики нужно формировать отдельный жизненный опыт.