Как уже обсуждалось ранее, есть задачи в которых не достаточно просто ответить на вопрос, а нужно показать, что другого (или в некотором смысле лучшего) варианта не существует и привести пример вашего варианта решения. Например если нужно узнать какое максимальное количество мышей можно разместить в клетках, нужно показать, что больше некоторого n быть не может и привести пример с n мышами. Иначе задача будет не решена.
Условие:
На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все они были попарно взаимно просты и были больше единицы?
Решение:
Выше было отмечено, что недостаточно привести пример разбиения, нужно еще доказать что он оптимальный. Поэтому начнем с оценки.
Оценка. Предположим, что таких слагаемых больше 8. Тогда среди них должно быть не менее 8 нечетных чисел. Заменим каждое из них на наименьший простой сомножитель. Очевидно, что сумма не увеличилась и все числа различны. Но сумма 8 наименьших простых чисел равна 98, значит слагаемых не может быть больше семи.
Рассуждения. Рассмотрим каким образом можно рассуждать, чтобы построить пример (способ этот не единственный). Запишем сначала сумму 7 наименьших простых чисел 2+3+5+7+11+13+17=58, что ощутимо меньше чем 96. Мы можем заменять одни простые числа на другие или возводить эти простые числа в степени. Например можно заменить 2 на 32. Тогда общая сумма станет равна 88 и нам нужно увеличить сумму всего на 8. Это легко сделать заменив 11 на 19.
Пример. 96=3+5+7+17+19+32. Это не единственный возможный пример.
Таким образом показано, что слагаемых не больше 7 и приведен пример с 7 слагаемыми. Задача решена.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!
