Отложим пока задачи и поговорим об одном из красивейших направлений математики, теории групп. Понятие группы ввел Эварист Галуа в первой половине XIX века. С тех пор группы проникли в разные области казалось бы с ними не связанные, например в дифференциальные уравнения с частными производными. Так что же такое группа?
Прежде чем определиться с понятием группы нужно понять, что такое «алгебра».
Алгебра — пара множеств A=<M, O>, где M – множество элементов любого типа, а O – множество замкнутых операций заданных на M. То есть результатом действия любой операции из O над элементами из M всегда будет элемент из M.
Например: произведение натуральных чисел — натуральное число.
Теперь можно наконец-то выяснить, что такое группа.
Группой G называется алгебра с единственной бинарной операцией * (операция звездочка), такой что она удовлетворяет трем аксиомам: 1) Существует нейтральный элемент; 2) Существует обратный элемент; 3) Операция * ассоциативна.
Например: группой является множество целых чисел относительно операции сложения, множество невырожденных матриц относительно операции умножения матриц, множество подстановок длины n относительно операции умножения подстановок.
Подстановка — закон ставящий в соответствие последовательности элементов некоторую перестановку этой же последовательности.
Теперь зная, что такое группа можно поговорить от том чем же она так хороша. Хороша она в первую очередь своей абстрактностью. В силу того, что множество элементов группы может быть каким угодно то все доказанные утверждения будут верны вне зависимости от того, что же скрывается под множеством M. Будь то матрицы, действительные числа, комплексные числа, классы вычетов по некоторому модулю, подстановки, многочлены, преобразования на плоскости и все остальное. Главное, чтобы операция удовлетворяла тем свойствам которые использовались при доказательстве утверждений.
Еще одно замечательное свойство завязанное на абстрактности — можно задать группу вообще не зная ничего о природе происхождения ее элементов, но зная некоторые свойства элементов и операции. Такой способ называется заданием группы с помощью порождающих элементов и определяющих соотношений (еще это называют генетическим кодом группы). Одним из самых интересных кодов является следующий:
Простым и понятным его конечно не назвать (есть проще и понятнее), но он хорош тем, что описывает симметрическую группу порядка n с помощью всего двух порождающих элементов.
Симметрическая группа порядка n – группа всех подстановок длины n.
Это означает, что любую перестановку из n элементов можно получить с помощью последовательного применения всего двух подстановок (цикла длины n и транспозиции двух элементов).
Есть много и других кодов, о них можно почитать в книжке «Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп» Коксетер и Мозер.
Конечно в этой короткой заметке не охватить и малой части теории групп. Группы могут быть конечными и бесконечными (по количеству элементов), коммутативными и некоммутативными (по свойству операции *), аддитивными и мультипликативными (по типу операции *), то есть совершенно разными, но при этом сохраняющими свойства групп, что и делает это направление математики на самом деле интересным.
Всем кто дочитал, спасибо за внимание! Удачных вам вычислений!