Вот задачка:
Корней, Матвей и Пантелей на треугольной сетке из правильных треугольников нарисовали елочки. У Корнея и Матвея елочки получились в виде многоугольников со сторонами, лежащими на линиях сетки. Оказалось, что их площади можно найти по формуле Пика: S=В+Г/2-1, где В — число узлов сетки внутри елки, а Г — число узлов сетки на ее границе.
Пантелей нарисовал елку в виде многоугольника, вершины которого лежат в узлах сетки. Можно ли площадь его елки найти по той же формуле?
Можно еще и так понимать эту задачу:
Применима ли формула Пика к многоугольникам не на квадратной решетке, а на решетке из правильных треугольников?
Правильный ответ — конечно, применима.
Сначала вспомним формулу Пика для площади многоугольника с вершинами в узлах квадратной решетки, когда площадь одного квадратика решетки равна 1. Тогда площадь многоугольника с вершинами в узлах решетки есть В + Г / 2 − 1 (В — число узлов решетки внутри многоугольника, Г — число узлов решетки на его границе.)
Теперь разделим все квадратики решетки пополам диагоналями и получим треугольную решетку с теми же самыми узлами:
Узлы никак не изменились, поэтому площади многоугольников находятся по той же формуле: В + Г / 2 − 1. Замечу, что площадь одного треугольничка равна ½ — половине площади квадратика, — это важное условие, чтобы формула работала.
Сделаем аффинное преобразование так, чтобы треугольнички стали правильными, и чтобы площадь каждого по-прежнему была равна ½:
Площадь многоугольника при этом не изменится, число узлов сетки внутри него и на границе тоже не изменится, и формула Пика по-прежнему работает:
S=В + Г / 2 − 1.
Не забываем, что площадь одного треугольничка равна ½