Есть такие заклинания, которые многие якобы умные люди любят произносить, чтобы "закопать" собеседника, убедив его, что он мало образован. И меня самого не так давно пытались по тому же принципу отправить к изучению уравнений в частных производных. Благо с этими уравнениями я провёл не одну бессонную ночь, потому знаний вполне хватает. Кроме того, эти термины нам пригодятся, чтобы разобраться с новой теорией элементарных частиц и строения атомного ядра.
Для простоты всё будем рассматривать на плоскости и относительно конкретной ситуации, изображённой на рисунке.
Пусть в раковине стоит банка с водой. В боку у неё дырка. Из этой дырки постепенно вытекает вода в объёме порядка двух литров в минуту. А из крана в ту самую банку заливается 3 литра в минуту. Тогда с помощью дифференциальных операторов можно математически довольно точно описать происходящее внутри банки.
Начнём с самого простого, с дивергенции. Её часто записывают, как div F. Сейчас больше употребляют запись вида ∇ ⋅ F. По определению это изменение потока в пределах малого объёма. Т.е. нам нужно собрать всё, что из этого малого объёма (из банки) выходит и вычесть из этого всё, что в этот малый объём входит. Из картинки ясно видно, что имеется 3 литра в минуту входящего потока и 2 литра в минуту – выходящего. Отсюда имеем, что дивергенция внутри банки будет равна -1. Т.е. выходит на литр меньше, чем заходит. И всё. Никакой магии. Если мы захотим углубиться в этот вопрос, то можно будет привлекать ещё и размеры банки. Т.е. этот объём воды, который притекает в банку, будет как-то распределён по её объёму. Но в данном случае это нам не нужно.
С ротором (rot F или ∇ × F) дело несколько сложнее. По определению это циркуляция по малому контуру. Т.е. то, насколько в конкретной точке поток поворачивается. Мы в прошлый раз говорили о векторе угловой скорости. Так вот ротор - это именно угловая скорость, умноженная на два. Как и вектор угловой скорости, ротор направлен перпендикулярно рассматриваемой плоскости, в которой происходит вращение. А величина определяется тем сколько потока при прохождении через банку мы потеряли по Y и сколько приобрели по X. В нашем случае это 3 + 2 = 5 единиц. И если мы взглянем на жёлтую вертушку на рисунке, её будет вращать по направлению фиолетовой стрелки как раз с интенсивностью в 5 наших условных единиц. Сам вектор будет направлен на нас. Т.е. ротором мы называем просто меру поворота некоторого потока. Ничего хитрого.
Ну и наконец градиент (grad ф или ∇ F. Не путать с дивергенцией ∇ ⋅ F!). Для начала отметим, что в отличие от ротора и дивергенции градиент характеризует не поток, а некоторую величину вроде температуры или давления и ставит ей в соответствие некоторое векторное поле, которое вполне можно понимать, как некоторый поток. Т.е. ситуация, в общем, обратная. Но мы попробуем за эту величину взять интенсивность нашего потока. Обратимся к определению: градиент – вектор, указывающий направление наибольшего возрастания величины потока, равный по величине изменению этого потока. Т.е. если мы внимательно глянем на нашу банку, то поймём, что справа от банки у нас скорость потока 2 единицы по оси X, а сверху – 3 единицы против оси Y. Т.е. поток изменился на единицу. Значит, длина вектора составит 1. А направление будет совпадать с направлением вектора (-2,3), т.к. интенсивность потока возрастает против его течения.
Если бы мы рассматривали некоторую комнату, в каждой точке внутри которой задано давление, то градиент можно представить, как направление наискорейшего роста давления. Вообще говоря в описанной ситуации против этого градиента будет дуть ветер. И метеорологи определяют направление движения воздушных масс именно с помощью таких градиентов.
Что бы вам не пытались говорить о сложности уравнений в частных производных и прочих понятий, в их основе всегда лежат адекватные достаточно простые положения. И если вам говорят обратное, то скорее всего они либо сами не разобрались, либо просто пытаются ввести вас в заблуждение. Ну а сами роторы и дивергенции - это не более чем удобный способ описания природы, чтобы можно было делать достаточно точные расчёты и делать далеко идущие выводы.
