День 7: Учимся считать векторами

Чтобы иметь возможность математически или даже программно оперировать сущностями нашего мира, нам нужно их упростить до формы понятной компьютеру или мат. аппарату. Признаковое описание объектов реального мира в виде чисел - это и есть то самое упрощение.

Скажем, анализируя потенциальную стоимость конкретной квартиры, мы будем иметь ввиду следующие признаки:

86 - площадь в квадратных метрах

6 - этаж

10 - возраст

54.34 и 98.23 - географические координаты квартиры

3 - количество комнат

Признаков может быть сколь угодно много. Таким образом мы можем описать конкретную квартиру числовой последовательностью её признаков:

Видно, что тип всех элементов одинаковый - float. Его можно задать явно, как видно в примере ниже.

Эта последовательность чисел и называется вектором. Вектор характеризует конкретный объект - конкретная квартира. А число в той или иной позиции вектора описывает конкретный признак объекта. То есть вектор - это по сути одномерный массив:

В NumPy вектор и массив - одно и то же. Исключение - понятие вектор-столбец и вектор-строка - фактически двумерные массивы, где один из атрибутов shape равен 1.

Если таких векторов много, то для эффективности их анализа и обработки их объединяют в матрицу - числовая таблица, где каждая строка - это объект (вектор значений признаков конкретной квартиры), а каждая колонка - это конкретный признак (вектор значений конкретного признака всех квартир).

Операции над векторами и матрицами, как правило, намного быстрее и эффективнее по сравнению с поэлементной и построчной обработкой. Хотя некоторые операции над матрицами и векторами сводятся к перебору элементов, что вызывает деградацию производительности.

Все возможные описания конкретного объекта представляют собой векторное пространство. То есть выше обозначенный вектор x - это элемент векторного пространства V.

Векторное пространство описывает правила выполнения двух операции над его элементами и ряд аксиом.

Наиболее простые векторные пространства, с которым мы будем дальше работать, это Евклидово векторные пространства R^n. То есть пространства, которые оперируют векторами, где каждый элемент - это вещественное число (любое дробное число).

R^2 - это пространство векторов с двумя элементами. Представляют собой точку на плоскости.

R^3 - это пространство векторов с тремя элементами. Представляют собой точку в пространстве.

Операции над векторами

Создадим два произвольных вектора, используя знакомые нам функции.

Операции над векторами происходят поэлементно, то есть операция выполняется между элементами двух векторов с одинаковыми индексами. Результат - вектор:

То же самое актуально и при операциях над векторами и числом - операция выполняется поочередно над каждым элементом вектора и конкретным числом: