Мы все еще со школы знаем как осуществлять действия с вещественными числами. Без труда можем выяснить чему равняется корень из какого либо числа, или как возводить числа в степень. Но как быть с комплексными?
Недавно я выпустил несколько статей, посвященных комплексному анализу. Рекомендую вам прочесть их, если пропустили. Или освежить свои воспоминания, если думаете, что забыли что-то. (Мнимая единица. Случай, когда можно поделить на 0)
Обычные действия
Для начала я предлагаю вам разобрать некоторые обычные действия. В общем, они практически ни как не отличаются от привычных нам. Для удобства мы будем пользоваться алгебраической формой представления числа. (Z = a + ib , Y = c +id). Итак:
- Сложение/вычитание : Z+Y = (a+c) +i(b+d).
- Инверсия числа: !Z = a - ib.
- Модуль числа: |Z| = √ (a^2+b^2).
- Умножение: Z*Y = (a + ib)*(c + id) = (ac-bd) + i(bc+ad).
- Деление: Z/Y = (a+ib)/(c+id) = (Z*!Y)/(|Y|^2.)
Как быть со степенью?
Но как быть с действиями возведения в степень? Мы знаем, что возведение в степень - это сокращенное умножение: 2^3 = 2*2*2 = 8. Но как быть с возведением в мнимую степень?
Тут нам нужно воспользоваться другой формой записи: показательной. В этом случае число представляется в следующем виде:
И вот здесь мы видим, что возведение в мнимую степень подобно вращению числа. Подробнее об этом нам говорит формула Эйлера:
e^(i⋅x) = cos(x) + i⋅sin(x) , где r = 1. (доказательство этого тождества не такое сложное, но оно лежит за рамками данной статьи)
"Главный гвоздь программы"
Но так что. Чему же будет равно выражение i^i ? То есть, мы полностью мнимое число возводим в мнимую степень, что же мы ожидаем получить? Давайте посмотрим:
Здесь мы воспользовались замечательным свойством экспоненты и натурального логарифма. В показателе получился логарифм комплексного числа, чему же он равен? Для этого вернемся на комплексную плоскость и посмотрим, на одно равенство. Нам нужно найти, где е в какой-то степени дает нам i. Самое первое на картинке. Давайте возьмем логарифм от обеих частей:
Вот мы и выяснили, чему равняется этот логарифм. Теперь давайте подставим все обратно:
Таким образом мы получили, что это абсолютно вещественное число и равняется оно примерно 0,208.
Ну хорошо, с первым персонажем мы разобрались. А что насчет следующего:
Если мы вооружимся знаниями полученными в предыдущей части статьи, то все пойдет гораздо легче. Нам необходимо просто воспользоваться свойством корня.
Ну и здесь мы уже знаем ответ. Получается, что это равняется:
Как то так. Надеюсь, что эта статья была для вас интересной и вы получили много нового из нее. Не забывайте ставить лайки, если считаете, что такой контент нужен для моей аудитории. Подписывайтесь на канал, если вам интересна тема математики, физики и технологий.