Недавно я выпускал статью, в которой объяснял, почему на 0 делить нельзя. Но все эти рассуждения были с точки зрения вещественного анализа. Сегодня я хотел бы рассказать вам о теории, в которой допускается деление на 0.
Речь пойдет о комплексном анализе.
Небольшое введение в ТФКП я сделал в статье про мнимую единицу. Если вы ее пропустили, то настоятельно рекомендую вам прочесть ее. На этом этапе вам нужно знать, что такое комплексная плоскость.
Итак, разметим комплексную плоскость. Мы знаем, что любая точка в ней будет иметь координату, которая состоит из мнимой и вещественной частей. Представление множества комплексных чисел в виде плоскости иногда оказывается несколько неудобным. Например, когда координаты точек слишком большие, или область, которую требуется показать, имеет большую площадь.
В качестве решения это проблемы Бернхард Риман предложил другую интерпретацию множества комплексных чисел. Он расположил их на сфере.
Чтобы наилучшим образом представить себе соответствие между сферой и плоскостью рассмотрим некоторые особенности.
Как работать с этой сферой?
Берем сферу с единичным радиусом. Ставим ее южным полюсом в начало координат мнимой плоскости. Для удобства введем новую систему координат, в ней мы будем отмечать точки, которые лежат на сфере.
Итак, берем какую-нибудь точку на сфере. Она обладает какими-то своими координатами. Чтобы найти точку на комплексной плоскости, которая соответствует выбранной нами точке на сфере, необходимо провести прямую, проходящую через северный полюс сферы и выбранную точку на сфере. Продолжив эту прямую, мы получим точку ее пересечения с комплексной плоскостью. Полученная точка будет соответствовать выбранной нами точке на сфере Римана.
Это называется стеографической проекцией - взаимооднозначное соответствие между точками лежащими на сфере и точками плоскости, включая бесконечно удаленную точку P.
Давайте поподробнее поговорим об этой точке P.
Нам понятно: чем ближе мы приближаемся к северному полюсу сферы, тем дальше будет расположена соответствующая ей точка на комплексной плоскости. Но если мы захотим выбрать саму эту точку? Тогда найти соответствие в явном виде не получится. Но если мы будем перемещать точку по комплексной плоскости в направлении бесконечности, то тогда ее образ на сфере будет все ближе к точке Р.
Такие рассуждения позволили Риману назвать точку P бесконечностью и таким же образом добавить к плоскости "бесконечность". Только на плоскости это окружность бесконечно большого радиуса. Таким образом получилась расширенная комплексная плоскость
Благодаря этому мы можем говорить о делении на 0. Ввести понятие того, что результатом будет бесконечность нам не удавалось, ведь на вещественной оси бесконечность это не какая-то определенная точка.
В этом же случае бесконечность обрела определенную точку, место в пространстве. Таким образом нам удастся ввести некоторые арифметические действия:
На этом все. Надеюсь у меня получилось понятным языком описать данный материал. Поддержите проделанные труды, поставьте лайк! :)
Всего вам хорошего и до скорых встреч! :)