Сегодня мы рассмотрим одну из основных метрических теорем планиметрии - теорему Птолемея.
Формулировка
У вписанного четырёхугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. (И наоборот, если у четырёхугольника произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около этого четырёхугольника можно описать окружность).
Доказательство
Эту теорему можно доказать, использовав теорему косинусов, но есть и более красивое решение. Так давайте его и приведём!
Итак, дан вписанный четырёхугольник ABCD. Наша цель - доказать, что AC*BD = AB*DC + AD*BC. Приступим!
Отметим на диагонали AC точку E такую, что ∠ADE = ∠BDC. Тогда треугольники ADE и BDC подобны (ведь кроме равных углов ADE и BDC равны ещё и углы EAD и CBD, т.к. они опираются на дугу DC),
откуда AD:BD = AE:BC. Из подобия треугольников DEC и ABD(∠DEC=∠DAB и∠DCE=∠DBA) имеем: DC:BD = EC:AB. Эти пропорции дают равенства AD·BC=BD·AE и AB·DC=BD·EC, при сложении которых получим: AD·BC+AB·DC=BD(AE+EC) = BD·AC.
Вот такое несложное доказательство у этой "страшной" теоремы! А ведь нужно было всего лишь догадаться построить точку E.
Следствия
Пользуясь этой теоремой, можно доказать ряд таких теорем, как:
- Теорема Фейербаха
- Теорема Кэзи
И это не весь список!
А на сегодня всё!
Не забывайте подписываться на канал, ставить лайк и писать в комментарии идеи для статей!
Спорим, Вы Не Решите Эту Математическую Задачу Для 6 Класса?
Как Умножить Любое Число На 11
Простейшее Свойство Биссектрисы, О Котором Все Забывают
Пять Фактов Об МКС, Которые Вы Не Знали
Сложнейшая Теорема Математики - Великая Теорема Ферма
Вся Жизнь В Одном Числе. Золотое Сечение