В математике, да и вообще в науке, редко когда первичные, базовые понятия определяют в стиле "Веревка есть вервие простое". Я имею в виду, редко когда удается выразить первичное понятие через другие, уже определенные: а то какое же оно тогда первичное.
Так обстоит дело с пространством-временем, о чем я уже рассказывал. А здесь давайте обсудим мнимую единицу.
Она, единица эта мнимая, является первичным понятием для теории комплексных чисел, и потому ее редко вводят как "число, квадрат которого равен минус единице" или как корень из минус единицы. Второй вариант еще допустим, а вот первый — нет, так как из него немедленно следует i=-i, и ничего с этим не поделать. Привет комментаторам, которые с умным видом поправляли меня. Не говоря уже о том, что такое число должно существовать, потому что я же могу ввести и число, которое, будучи поделено на ноль, даст единицу, и даже могу придумать ему обозначение. А вот проблемы будут уже потом.
Нет, так можно поступать, когда не требуется особой строгости. Комплексная плоскость уже определена и все там в порядке, поэтому можно просто брякнуть i²=-1 и идти дальше. Такие учебные пособия я тоже видел.
Можно сказать, что это "символ" с таким вот свойством (другие "числа" с таким же свойством не исключаются), а потом увязать концы с концами.
Вариант определить операцию извлечения квадратного корня из числа -1 и обозначить результат ±i, в принципе, рабочий. Я сам его применял в моих заметках. Много чего еще надо сделать, если строго, но это делается. Так поступает и И.И. Привалов в введении к своему учебнику, просто пишет a+b√-1, но потом вводит комплексные числа иначе: см. далее.
Однако в учебниках обычно подходят по-другому. Возьмем, например, книгу М.А. Лавреньтева и Б.В. Шабата. Они вводят числа вида x+iy, где i просто символ, и определяют сложение и умножение. В частности получается и квадрат числа i: (0+1i)²=-1+0i.
Можно взять векторы (x,y) на плоскости: сумма и умножение на вещественные числа уже определены, как и модуль, сходимость и многое другое. Умножение тоже есть (скалярное), но оно не подходит. Поэтому умножение вводят иначе, по правилам (a,b)(x,y)=(ax-by,ay+bx). Вектор (0,1) потом обозначается i. Так поступает тот же Б.В. Шабат в другом своем учебнике.
Можно вместо векторов взять пары (x,y), тогда придется сумму и прочее вводить заново. Так тоже делают, например уже упомянутый И.И. Привалов.
Можно пойти алгебраическим путем и расширить поле вещественных чисел путем присоединения корней многочлена x²+1. Это любопытный способ, который полезно изучить, так как эта же методика приводит к теории Галуа. Еще бонус: многочлены выше второй степени приводимы над полем вещественных чисел, то есть раскладываются на множители, это известный факт. После расширения приводимы (над расширенным полем) становятся и квадратные многочлены. Таким образом, мы сразу получаем много полезных результатов: любой многочлен имеет столько комплексных корней, какова его степень (так как раскладывается в произведение двучленов первой степени); нам не нужно далее расширять поле (потому что все многочлены уже имеют корни); все корни извлекаются (потому что корни любой степени суть корни двучленов соответствующей степени); и так далее.
Кстати, попробуйте поискать картинки по запросу "пространство над полем" в Яндексе и Гугле. Яндекс для гуманитариев, Гугл для технарей)))
Наконец, можно ввести комплексные числа как матрицы. Матрицы вида
с обычным матричным сложением и умножением ведут себя точно как комплексные числа. Они коммутируют: редкое свойство для групп матриц! При этом любую такую матрицу можно линейно выразить через две, которые удобно обозначить символами 1 и i:
Теперь можно забыть о том, что жирная единица это матрица, и отождествить ее с обычной единицей, благо противоречий не возникает.
Определитель такой матрицы есть модуль комплексного числа в квадрате.
Кстати, матрицы можно подставлять в степенные ряды, и так можно легко получить комплексную экспоненту, синус и косинус и кое-что еще, так что этот путь заслуживает внимания.
Таким образом, если подходить к делу строго, практически никто число i отдельно не вводит. Определяется сразу все поле комплексных чисел, оно же комплексная плоскость.
И философский вопрос: его придумали или открыли? Я считаю, что открыли. А вы как думаете?
