Главный декоратор захотел изобразить свое новое творение в виде треугольников и вписанных в них окружностей. Чтобы создать настоящий шедевр, он захотел сделать все с математической точностью. Для этого помогите ему найти отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны треугольника, если стороны треугольника равны соответственно a, b, c, полупериметр треугольника р, чтобы декоратор понимал пропорции изображения.
Начнем с рисунка. Изобразим треугольник и вписанную в него окружность.
Пусть по условию АВ=а; ВС=b; АС=с. Тогда по условию задания необходимо отрезки АК, КВ, BL, LC, СМ, и МА выразить через a, b, c, p.
Воспользуемся свойством двух касательных:
отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.
Пусть
Воспользуемся методом сложения: сумму левых частей равенств приравняем к сумме правых частей равенств.
Приводим подобные слагаемые в левой части:
Заметим, что в левой части можно вынести общий множитель 2. А если правую часть равенства поделить на 2 получим полупериметр (р).
С учетом, что х+y=a получаем
y+z=b
x+z=c
Все отрезки, на которые окружность поделила стороны треугольника выражены через a, b, c и р.
