Еще одна замечательная задача, которая, как я и раньше говорил, решается элементарно, но прелесть не в решении, а в красоте самого явления.
Если мы возьмем произвольный параллелограмм или даже трапецию и построим биссектрисы к соседним углам (для трапеции это углы, прилежащие к боковой стороне), то они пересекутся под прямым углом.
Только представьте - любой параллелограмм, любая трапеция, а угол всегда прямой.
Как обычно, приведу доказательство. Верхняя и нижняя сторона параллельны (в случае с трапецией это параллельные основания), боковая сторона является секущей при параллельных прямых. Внутренние углы параллелограмма (или трапеции) являются внутренними односторонними углами при секущей. Значит, их сумма равна 180°. А, значит, сумма их половинок (ведь биссектриса делит углы пополам) равна 90°. В полученном треугольнике на третий угол остается 90° (ведь сумма углов треугольника равна 180°).
Вот и всё. Как обычно просто. Но ведь красиво - из произвольных фигур получается обязательно прямоугольный треугольник.
