Сегодня мы с вами поговорим о бесконечных периодических десятичных дробях. Все наверное видели такие. Мы записываем период такой дроби в скобках. Например, 0,(9) = 0,9999... (и так до бесконечности). Или 1,2(46) = 1,2464646...
Откуда же берутся эти бесконечные периодические дроби? Они берутся из обыкновенных дробей. Это те, которые с числителем и знаменателем (a/b). И вот если попытаться a разделить на b, то может получиться обычная десятичная дробь (например, 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25), а может получиться периодическая дробь (например 1/3 = 0,(3), 2/9 = 0,(2) ).
Конечно же возникает желание провести и обратную операцию - из бесконечной периодической десятичной дроби сделать обыкновенную. И это возможно. В общем виде нужно взять за x периодическую дробь (и это потом будет вычитаемое), помножить его на 10 или 100 или и так далее - столько нулей, сколько чисел в периоде (и это будет уменьшаемое). Если из второго (уменьшаемого) вычесть первое (вычитаемое), то период просто уничтожается. Смотрите:
x = 0,(2) тогда 10x = 2,(2) - у обоих чисел одинаковый период если из одного вычесть другое, то периоды просто вычтутся 10x - x = 2,(2) - 0,(2) => 9x = 2 => x=2/9
Если дробь перед периодом имеет какую-то непериодическую часть, то формула выглядит немного иначе, но об этом ниже.
Любопытство сподвигнет нас на поиски обыкновенных дробей, которые соответствуют бесконечным дробям с периодом (1), (2) и так далее. Ведь любопытно же.
Давайте проверим несколько дробей и перейдем к главному
x = 0,(1) => 10x = 1,(1) => 9x = 1 => x = 1/9
0,(2) мы уже рассматривали 0,2 = 2/9
x = 0,(3) => 10x = 3,(3) =>9x = 3 => x = 3/9 = 1/3
Дальше можете проверить сами. А мы, тем временем, преобразуем бесконечную дробь 0,(9). Ведь она существует. Или нет?
x = 0,(9) => 10x = 9,(9) => 9x = 9 => x=1 => 0,(9) = 1
Что это? Как же это так? Бесконечная периодическая дробь равна целому числу? Да, это так. Бесконечная периодическая дробь с периодом 9 - не существует. Вернее, она, конечно, существует, мы же ее записали, но это просто другой способ записи целого числа.
А что будет с дробью, у которой период начинается не сразу после запятой, а между запятой и периодом находится непериодическая часть? Например, 0,12(9).
В целом способ получения обыкновенной дроби примерно такой же с небольшим дополнением. За x мы принимаем наше число 0,12(9). Но чтобы избавиться от периода, мы за вычитаемое принимаем x, который умножаем на 1 с таким количеством нулей, сколько разрядов в непериодической части - в нашем случае 100x = 12,(9).
Теперь, когда период начинается сразу после запятой, мы можем действовать по привычной схеме. Уже новое число умножаем еще на 1 с количеством нулей, сколько разрядов в периоде. То есть в нашем случае, чтобы получить уменьшаемое, умножим вычитаемое еще на 10.
100x = 12,(9) => 1000x = 129,(9)
Вычитаем из уменьшаемого вычитаемое 1000x - 100x = 129,(9) - 12,(9) => 900x = 127 => x = 127/900 => x = 0,13 => 0,12(9) = 0,13
Итак, девятка в периоде на самом деле - это единица в разряд перед периодом.
Вот такие интересные вещи бывают в алгебре.
