Как решать квадратные уравнения?

Здравствуй, дорогой читатель! В этой статье ты узнаешь, что это такое и с чем его едят. Школьникам важно освоить навык решения квадратного уравнения и довести его до автоматизма, ведь он не раз ещё встретится на пути. А взрослым будет полезно освежить в памяти уроки алгебры.

Итак, квадратные уравнения (они же уравнения второй степени) в общем виде выглядят так

Общий вид квадратного уравнения.

В данном случае x является переменной, a,b,c - константами, где а - обязательно ненулевое значение (это необходимое условие, если же а будет равным нулю, то мы получим линейное уравнение вида bx+c=0).

"Решишь квадратное уравнение" означает найти нули функции (точки из области определения функции в которых она принимает нулевое значение). Введём дискриминант как математическое понятие и обозначим его буквой D.

Дискриминант.

Значение дискриминанта может быть:

• D>0. В таком случае корни уравнения будут

• D=0. В этом случае корень уравнения будет только один

• D<0. В этом случае у уравнения не будет вещественных корней. Для курса школьной математики достаточно сказать "нет корней", и никто вам ничего не сделает :). Вы ещё не скоро познакомитесь с комплексными числами, но, справедливости ради, стоит сказать, что нули у этой функции всё-таки существуют ровно как и существует квадратный корень из -1.

Разберём пример №1

Разберём пример №2

Первый способ решения.

Посмотрим ещё раз внимательно на это уравнение. У него есть ещё один способ решения. Мы можем вынести x за скобку и приравнять оба множителя к нулю:

Второй способ решения.

Заметим, что корни уравнения получились такие же, как и в первом случае.

Поговорим немного о геометрическом смысле квадратного уравнения.

Рассмотрим уравнение:

Графиком этой функции является парабола ветвями вверх.

Что же является корнями этого уравнения? Поскольку мы приравниваем функцию к нулю, то решением будет пересечение графика с осью ОХ. У этого уравнения корнем является 0, потому что парабола касается оси ОХ в точке 0.

Поиграемся немного с графиками и посмотрим как изменяется их вид в зависимости от коэффициентов a,b,c. Для начала заметим, что в данном уравнении коэффициент а = 1. Поменяем его на -1:

Теперь ветви параболы смотрят вниз. Но решением этого уравнения по-прежнему является 0.

Если коэффициент а - положительный, то у параболы ветви вверх.

Если коэффициент а - отрицательный, то у параболы ветви вниз.

Теперь посмотрим, как изменится график в зависимости от коэффициента с:

Заметим, что у первого уравнения нет решений, поскольку нет пересечений с осью ОХ. Это так же значит, что дискриминант D=0. А у второго уравнения два корня 1 и -1.

Коэффициент с двигает параболу по вертикали. Если с - положительный, то вверх. Если с - отрицательный, то вниз.

Про коэффициент b нельзя сказать чего-то конкретного.

Не бойтесь решать подобные уравнения. Развитый математический аппарат позволяет сразу увидеть способы решения и подходы к разным задачам. Хотите ознакомительную статью про комплексные числа? Остались вопросы? Пишите в комментарии.