Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня продолжаем тему простых чисел и поговорим о замечательном числе Скьюза, долгое время удерживавшего пальму первенства в мире чисел-гигантов. Эта статья о том, что даже самая, на первый взгляд, неотвратимая тенденция когда-нибудь может закончиться. Поехали!
История числа Скьюза началась в 19 веке с Карла Фридриха Гаусса, который в пятнадцатилетнем возрасте задумался о существования закона распределения простых чисел. Гаусс предложил следующую функцию распределения:
Вот несколько примеров её вычисления:
Гаусс предположил, что эту функцию можно для произвольного числа приближенно вычислить таким образом:
Заметьте, что приближение достаточно точное и становится относительно точнее с ростом числа х, но никак не превосходит его.
В развитие идей Гаусса начал работу и другой выдающийся математик Петер Дирихле. Он предложил еще более точную функцию распределения:
Одновременно с этим Дирихле предположил, что для всех чисел выполняется условие:
Т.е. количество реально существующих простых чисел, меньших х, всегда меньше оценки их количества, получаемой с использованием логарифмического интеграла. Это утверждение не подвергалось сомнению почти 100 лет (!!!), а расчеты были проведены до 10^22 !
Тенденции имеют свойство заканчиваться, даже если речь идет о бесконечных и бесконечных числах.
Однако, как Вы уже догадываетесь, не всё так однозначно. В 1914 году математик Джон Литлвуд доказал, что это утверждение не всегда верно. Казалось бы, представить один контрпример числа, для которого неравенство не выполняется, и всё!
Но и тут не так просто, ведь число было настолько огромным, что удалось его оценить только ученику Литлвуда математику Стенли Скьюзу.
В 1933 году он дал верхнюю оценку числа, до которого неравенство точно не выполняется хотя бы раз. Это было число:
Именно на 100% до этого числа тенденция прерывается. Понимаете, на сколько это большое число? Приведу цитату знаменитого британского математика Годфри Харди:
"Если играть в шахматы со всеми частицами Вселенной как фигурами, один ход состоял бы в перестановке местами двух частиц, и игра прекращалась бы, когда одна и та же позиция повторялась бы третий раз, то число всех возможных партий было бы равно примерно числу Скьюза’’.
Современная математика значительно улучшила оценку верхней границы числа Скьюза. В настоящее время известно, что оно точно меньше, чем 1,39*10^316. Число Скьюза оказалось предтечей невероятной погони математиков за действительно гигантскими числами. Постоянные читатели моего блога точно знают, какому числу принадлежала пальма первенства после.
Путеводитель по каналу "Математика не для всех" - здесь собрано больше 100 статей на самые разнообразные темы: как для новичков, так и для более начитанных математиков! ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.
