Обобщенная теорема Чевы

См. сначала «обычную» теорему Чевы.

Пусть три прямые (зеленый, оранжевый и бордовый цвета) проходят через вершины треугольника. Одна прямая пересекает сторону треугольника, две других прямые пересекают продолжения сторон треугольника (см. рисунки ниже).
Эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда (a / b) ∙ (c / d) ∙ (e / f) = 1.

Рис. 1. Три прямые пересекаются в одной точке — внешней точки исходного треугольника (в отличие от внутренней точки в «обычной» теореме Чевы)

Рис. 2. Три прямые параллельны

Примечание. Запоминаются оба случая обобщенной теоремы Чевы с помощью обхода поочередно вершин треугольника и точек пересечения прямых (со стороной или продолжениями сторон треугольника), на рисунках такой обход показан с помощью стрелок.

Указания к доказательству

Прямая теорема (т.е. требуется доказать равенство) доказывается без особых затей.
Для рис. 1. — два раза применить теорему Меналая и «обычную» терему Чевы.
Для рис. 2. — два раза применить теорему Фалеса.

При доказательстве обратной теоремы (т.е. равенство выполняется) рассматриваются два случая:
1) две прямые пересекаются, тогда доказывается, что третья прямая пройдет через ту же точку пересечения;
2) две прямых параллельны, значит, надо доказать, что третья им параллельна.
Можно воспользоваться доказательством «от противного» с использованием результата прямой теоремы (часто применяемый трюк для обратных теорем в геометрии).