Наверное, всем известен способ вычисления площади любого треугольника:
«Площадь треугольника она равна произведению половины основания на высоту».
Оказывается этого достаточно, чтобы доказать следующие утверждения, которые подчас помогают решать сложные экзаменационные и олимпиадные геометрические задачи!
1. Равновеликие треугольники и параллельные прямые
Пусть прямые p и q параллельны, см. рис. 1. Вершины и основания (оранжевые отрезки равны) △1, △2, и △3 расположены на этих прямых.
Тогда △1, △2, и △3 равновеликие, т.е. их площади равны.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
Очевидный факт! Площади △1 и △2 равны, см.рис. 2.
3. Отношение площадей треугольников с равными высотами
Пусть прямые p и q параллельны. Расположение △1, △2, △3 и △4 и обозначения длин оснований см. на рис. 3.
S₁ : S₂ = S₃ : S₄ = a : b.
Наверное, пояснять не требуется.
Еще парочка полезных и несложных отношений:
S₁₂ : S₁ = (a+b) : a,
S₁₂ : S₂ = (a+b) : b.
4. Отношение высот при равных основаниях
Представим △12, изображенный слева на рис. 3, по-другому, см. рис. 4.
Нетрудно видеть (и обосновать), что высоты △12 и △2, проведенные к основанию (горизонтальный отрезок), относятся как (a+b) : b.
Значит, S₁₂ : S₂ = (a+b) : b.
5. Прямая пересекает треугольник по двум сторонам
Оранжевая прямая отсекает от сторон треугольника AB = b и AC = c отрезки b’ и c’ так, как изображено на рис. 5.
S₁₂ : S₁ = (bc) : (b’c’).
Совсем просто, если применить формулу площади треугольника через синус угла.
А если вы учитесь в 7-8 классах, то никаких синусов не надо! Достаточно использовать отношения из п.3-4.
Перейдем к рис. 6. Лишь чуть сложнее доказать без тригонометрии, что
S₂ : S₁ = (b₂c₂) : (b₁c₁), где
△1 — это △AB₁C₁, AB₁ = b₁, AC₁ = c₁,
△2 — это △AB₂C₂, AB₂ = b₂, AC₂ = c₂.
6. Отношение площадей для треугольников с вертикальными и смежными углами
Следующие два варианта (рис. 6-7) расположения треугольников легко сводятся к случаям, изображенным на рис. 5-6.
S₂ : S₁ = (b₂c₂) : (b₁c₁).
7. Польза от решения задач методом площадей
В одном из комментариев мне сделали упрёк (по-доброму), что у меня много решений методом площадей, зачастую, в ущерб решениям с помощью тригонометрии. Верно подмечено!
Я практикую на своих занятиях именно метод площадей с целью научить своих подопечных «видеть» на чертеже различные фигуры, их элементы и соотношения между ними. А геометрическое «видение» — обязательный навык для решения геометрических задач профильного уровня.
Например, Основное свойство биссектрисы угла треугольника достаточно просто доказывается с помощью дополнительного построения и подобия. Однако я считаю, что важно уметь доказывать и через площади, причем доказательство аналогичное как для биссектрисы внутреннего угла, так и для внешнего угла.
Ровно те же слова можно сказать про доказательство теоремы Менелая.
Разумеется, не всякую задачу можно и нужно решать с помощью метода площадей. И при уместном применении теоремы синусов или теоремы косинусов решение сокращается. Но стоит быть готовым к таким задачам, в которых «тригонометрия и алгебра» занимают лишь небольшую часть решения, а вся сложность заключена в понимании планиметрии и/или стереометрии.
Давайте рассмотрим четырехугольник общего вида.
Вы считаете очевидными (и можете сходу обосновать) следующие равенства
S₁ : S₂ = S₃ : S₄ = S₁₃ : S₂₄ и
S₁ ∙ S₄ = S₂ ∙ S₃? Эти факты должны быть известны семиклассникам!
Или другая задача (тоже из 7-го класса).
AKMN и AXYZ — параллелограммы. Точки K и Z лежат на сторонах XY и MN соответственно, см. рис. 9. Докажите, что суммы площадей двух синих и двух оранжевых треугольников равны.
Красивая, полезная задача. Обоснование умещается в одну строку!
