Эти треугольники похожи на детские пирамидки из кубиков со случайным набором чисел, но Блез Паскаль (и многие другие) собирали их для того, чтобы исследовать взаимоотношения между биномиальными коэффициентами (тот самый бином Ньютона!). Это числа и их сочетания, которые изучаются теорией множеств, а подобные треугольники подобны математическим калейдоскопам, бесконечные сочетания элементов в которых позволяют заглянуть в самую суть чисел.
Блез Паскаль не был изобретателем этой треугольной фигуры, но его исследования в 50-х гг. XVII в. были настолько важными, что им присвоили имя этого французского математика. Вероятнее всего, впервые такой треугольник был собран китайским ученым Цзя Сянем в XI в. В принципе, собрать такой треугольник несложно (здесь и сейчас обсуждать бином Ньютона мы не будем). Сумма двух соседних чисел дает число под ними. Единицы, из которых формируются внешние грани треугольника, не имеют соседей (0 + 1 = 1). Вторую диагональ треугольника образуют натуральные числа — каждое из них является суммой предыдущего числа и единицы.
От простого к сложному
В треугольниках скрыто множество других числовых последовательностей. Самое интересное начинается с третьей диагонали. Члены этой последовательности — 1, 3, 6, 10 и т. д. — являются треугольными числами. На их основе можно составлять правильные треугольники на плоскости. Числа четвертой диагонали — тетраэдральные, представляющие пирамиду, в основании которой лежит треугольник (то есть трехмерный треугольник). Пятая диагональ состоит из пентатопных чисел, формирующих гиперпирамиды (четырехмерные пятиячеечники) — и так далее; каждая последующая диагональ добавляет в численный ряд одно пространственное измерение. Более того, сдвинув ряды треугольника так, чтобы диагонали превратились в колонки и добавив их «новые» диагонали, мы получим последовательность Фибоначчи!
