Легко доказать, что если плоскость выложена равными квадратами, то какие-то два имеют общую сторону.
Несколько более сложно показать, что если трёхмерное пространство разбито на равные кубы, найдутся два, имеющие общую грань.
В 1930 году Отт-Генрих Келлер высказал гипотезу о том, что аналогичное утверждение верно и в любом многомерном пространстве.
Замечательный математик Оскар Перрон в 1940 году доказал, что в пространствах размерностью до 6 включительно гипотеза верна.
Но потом что-то пошло не так: в пространстве размерности 8 (и всех больших) гипотеза неверна.
Лагарис и Шор в 1992 году показали это для размерностей 10 и выше, а Макей в 2002 году для размерностей 8 и выше. Для чего использовали переформулировку задачи в терминах кликового числа некоторых графов, известных теперь как графы Келлера.
Много лет вопрос был открыт для размерности 7.
И в 2020 году вопрос закрыли. Гипотеза Келлера верна для n=7.
Но доказательство использует компьютер. И даже не один!
Joshua Brakensiek, Marijn Heule, John Mackey, David Narváez решали задачу, используя сразу 40 компьютеров. И через полчаса был получен ответ, что гипотеза верна!
Доказательство столь велико, что проверить его человек не может.
Интересно, что в трёхмерном пространстве утверждение неверно для произвольного параллелепипеда!
В 1975 Людвиг Данцер и, независимо, Грюнбаум и Шепард, нашли заполнение трёхмерного пространства параллелепипедами с наклоном граней в 60° и 120°, в которой никакие два параллелепипеда не имеют общей грани!!!
Неожиданно, но задача про кубы приводит к сложным и интересным задачам в теории групп и теории графов. Но это уже немного другая история!
