Может показаться странным, что тема с построением графиков оказалась именно здесь, в задачах с параметром. Обычно видеокурсы и сборники задач для абитуриентов или уделяют ей мало внимания и сразу стараются перейти к заданиям, непосредственно содержащим параметры.
Мы же, наоборот, считаем эту тему ключевой, так как именно умение строить любые графики и множества точек является тем фундаментом, на котором строится графический метод решения задач с параметром. Иногда достаточно просто научиться хорошо строить графики, и уже потом решение любых задач графическим методом пойдёт как по накатанной.
Итак, давайте проговорим самые важные идеи, на которые стоит обратить внимание при изучении данной темы. Частично мы уже их разобрали в наших видео, однако некоторые моменты нужно пояснить отдельно и вне разбора заданий.
*********
Крепкие предварительные знания
В видеоразборах мы рассматриваем задания, которые выходят за рамки знаний среднего школьника. То есть мы имеем дело уже с довольно продвинутыми заданиями.
Это означает, что прежде, чем смотреть видео по этой теме, сперва следует научиться строить элементарные функции. Мы имеем ввиду следующие функции: линейная функция у=kx+b, квадратичная у=аx²+bx+c, обратная пропорциональность у=а/х, квадратичная иррациональность у=sqrt(х) и модуль у=|x|. Помимо самого построения этих графиков, нужно понимать, как именно влияют на них различные коэффициенты, как строить вершину параболы, какие асимптоты у гиперболы и пр. Желательно уметь использовать в зависимости от контекста различные полезные трюки вроде “абсцисса вершины параболы = полусумма корней” (ну и знать вообще, что такое абсцисса и ордината).
Далее нужно хотя бы в общих чертах понимать, как происходит преобразование этих графиков (сдвиг по оси Ох, по оси Оу, сжатие/растяжение). Обычно при сдвиге путают, что и куда нужно смещать.
Полезно также понимать различные свойства функций. Периодичность или зависимость между прямой и обратной функцией не так важны, но знание про чётность и нечётность поможет при решении реальных задач. Это также сэкономит некоторое время на построение.
Помимо графиков желательно иметь представление о некоторых множествах точек. В первую очередь мы говорим про уравнение окружности. Для неё тоже нужно понимать как устроены сдвиги и растяжения.
И вообще нужно понимать, чем отличается функция от множества точек на плоскости xOy. К примеру, уметь пояснять почему у = 1 — функция, а x = 1 — нет, или почему некорректно говорить “график окружности”.
Желательно также уметь выделять на координатной плоскости простейшие области вроде x < 1, у > x+1 и т.д.
Но не нужно опасаться, что какие-то из перечисленных вещей вы сейчас не знаете или не умеете. Наши задания были подобраны так, чтобы вы могли подтянуть и различные базовые навыки.
Модули
Составители задач с параметрами очень любят модули. Поэтому нужно как следует научиться работать с ними в части построения графиков.
Здесь есть два основных варианта для построения: либо через метод промежутков, либо через последовательные преобразования (сдвиги и отражения). Также в некоторых случаях можно применять чётность модуля — строить только часть графика, а остальное симметрично дорисовывать.
Стоит обратить внимание и на то, что метод промежутков обычно усложняется, если под модулем есть и x, и y. То есть нужно будет научиться раскрывать модули в любых областях. Для функции y = |x| + |x-1| обычно понятно, как мы раскрываем, — это сходно с решением уравнений с модулем через уже знакомый метод промежутков. А вот уже для случая множества точек вида x+у = |х-у| - 5 раскрывать уже сложнее. Тут уже надо понимать как быстро построить области х-у>0 и х-у<0 и что после этого следует делать (см. пункт выше).
Неравенства
Здесь нужно чётко уяснить последовательность работы: сначала строим границу, потом выделяем нужные области.
И это ещё усложняется тем, что нужно уметь брать точки в конкретных областях. В отличие от метода интервалов, где мы перескакивали через критические точки и наблюдали за знаком.
Потом обсудим более продвинутый способ отбора областей, но его нужно использовать, когда вы на 100% уверены в его применимости. В видео есть примеры, когда его лучше не использовать. Поэтому пока вам нужно просто научиться использовать удобные точки для подстановки.
Представлять вид графика
Во многих параметрических задачах прежде, чем строить график, вам желательно уметь прикидывать его в голове. Это нужно для двух вещей.
Во-первых, вы экономите время и отсекаете заведомо тупиковые варианты решения задачи с параметром. Возможно, графический метод для задачи не подходит, и для того, чтобы убедиться в этом, нет необходимости каждый раз аккуратно делать рисунок.
Во-вторых, понимая внешний вид графика, вы можете сразу грамотно распорядится пространством. Например, если вы понимаете, что это будет стандартная парабола, то нет смысла выделять в своих записях место для нижней полуплоскости. Или наоборот, для функции у=-x² следует ограничиться нижней частью.
Отталкиваться от контекста
Вообще следует учиться иногда отходить от принятых в школе шаблонов построения и смотреть на их уместность для каждой конкретной задачи. Конечно, для большинства из них всё будет примерно в одном русле: координата х справа, единичный отрезок две клетки, рисунок ровно посередине листа, средняя плавность линий и т.д.
Однако, всё равно нужно учиться по-разному смотреть на построение графика. Единичный отрезок может быть совершенно различным: от половины клетки до восьми клеток (желательно всё же для удобства деления рассматривать степени двойки: 0.5, 1, 2, 4, 8 клеток)
Рисунок может располагаться в основном в какой-то одной четверти и нет смысла полностью рисовать остальные, чтобы не оставлять много неинформативного пространства.
В некоторых случаях удобно вообще переставить оси из-за того, что лист бумаги вытянут и вверх и неудобно рисовать параболу “лёжа на боку”. И вообще нужно научиться не бояться выражений вида x=y²+3.
Точность построения должна также опираться на разумную аккуратность. Часто нет надобности в стопроцентной точности чертежа, поэтому нужно искать баланс в количестве опорных точек для построения. И само собой стараться какие-то общие принципы построения сохранять: гипербола должна быть очень плавной, а парабола не должна с двух сторон “врезаться” в начало координат (помните: она туда нежно вкатывается).
Замечать повторяющиеся конструкции
Среди рассмотренных в видеоразборах примеров мы включили построения, которые довольно легко изобразить на плоскости и самостоятельно, но которые ценны тем, что встречаются довольно часто.
То есть вам желательно не задумываясь строить следующие множества (далее параметр a везде положителен): |x| + |y| = а, |x| - |y| = а, |x| < a, |у - 1| > а и др. Это будет полезно не только для графиков. Например, хорошее понимание последних конструкций поможет вам в высшей математике.
Когда вы будете решать, например, системы, где одно из уравнений будет иметь вид x² + y² = а², желательно стараться не тратить сил на построение подобные элементарные множеств, сразу замечать их вид и переходить к построению.
Использовать сторонние инструменты
Так как видео созданы для самостоятельной работы вам необходимо будет проверять ваши построения. Для этого достаточно сайта desmos.com. Пусть он не всегда работает корректно (об это ещё возможно будет отдельный разговор), но для подавляющего количества задач даёт хороший результат.
Конечно, возникает соблазн сразу в этом приложении строить все графики. Так некоторые ученики любят использовать калькуляторы, думая, что на экзамене-то они уж точно всё правильно сами посчитают. Мы уже много раз писали про это в статьях. Думаем, что вы уже понимаете, как использовать подобные инструменты для самопроверки.
Кстати, тот же Desmos можно использовать и для отдыха. Например, выдумать какую-нибудь вычурную функцию, поставить там зависимость от параметра и наслаждаться результатом.
Следить за выкалыванием точек
Это продолжение истории с аккуратной работой с ОДЗ. Вам нужно внимательно следить за теми точками, которые не входят в решение. Особенно это касается неравенств. В них порой приходится выкалывать не отдельные точки, а прямые (см. нестрогие неравенства). А в некоторых заданиях вообще порой приходится выкалывать целые области.
*********
Пока мы просто перечислили основные моменты при работе с графиками для параметров. Часть из них требует отдельного и подробного рассмотрения. Этим мы займёмся в следующих статьях.
