Недавняя заметка была введением в понятие группы. В математическое понятие, не путать с группой в бытовом понимании, с группой в детском саду, с понятием из уголовного кодекса ("группой лиц по предварительному сговору..."), музыкальной группой (ни разу не группа!), групповухой и другими синонимами. Сейчас давайте рассмотрим преобразования Лоренца с этой точки зрения.
"Оглавление рубрики "Гравитация, Вселенная и всё остальное"
Его преобразования, как выяснил Пуанкаре, образуют группу (гиперболических поворотов). Если бы это было не так, преобразования бы не годились вообще для той цели, для которой они используются. Но и группа не всякая подойдет. Впрочем, сначала проверим групповые свойства.
Преобразования (пусть у нас пространство одномерно) такие:
Нейтральный элемент — это отсутствие преобразования: v=0. Это просто.
Попробуем выразить x через x', а t через t':
Подставим и упростим:
И окончательно:
Для t аналогично. Получилось следующее (барабанная дробь):
- Обратное преобразование имеет ту же форму, то есть это элемент группы. Скажем, преобразование x'=x+1 группу не образует, так как обратное имеет уже другой вид. x'=x+a группу образует, но это и есть группа Галилея. А вот что-то еще придумать сложновато. О чем далее...
- Обратное преобразование получается просто сменой знака скорости v. Это важно: без этого свойства группа была бы группой, но для физики была бы малопригодной. Могла же быть не смена знака, а 1/v, например.
Теперь надо проверить, что два преобразования подряд дают опять преобразование из той же группы. Выполним последовательно два преобразования, одно со скоростью u, другое со скоростью v ("скорость" здесь просто формальность, это некоторые параметры преобразования, как угол у поворота). Пусть у нас x'' и t'' через x' и t' с параметром v, а x' и t' через x и t с параметром u, причем примем для упрощения формул c=1:
Упростим и поделим числитель и знаменатель на множитель (1+uv) при x; получим в числителе
Мы видим, что в числителе получилось то, что и стоит в числителе формулы Лоренца, но параметр нового преобразования равен некоторой комбинации параметров u и v, а именно: релятивистской сумме скоростей, которую я обозначил плюсиком в кружочке. Иначе и не может быть, так как параметр преобразований у нас от -1 до 1 и выйти за эти пределы не может — иначе это уже не группа!
Надо убедиться, что и знаменатель соответствует. Там у нас
Все соответствует. В итоге получаем релятивистскую формулу суммы скоростей
и двойное преобразование Лоренца сводится просто к преобразованию Лоренца, но с релятивистской суммой скоростей. Причем ясно, что в пространственно-одномерном случае (два измерения: t и x) от порядка преобразований результат не зависит, ведь формула суммы симметрична по слагаемым. Повороты на плоскости тоже абелеву группу образуют.
Осталось проверить ассоциативность: равенство
В одномерном случае оно очевидно: формула симметрична по слагаемым, поэтому в правой части можно поменять порядок, и получится левая, но с вместо порядка u,v,w будет v,w,u. Но из-за симметрии порядок роли не играет...
Кстати, о связи преобразований Лоренца с преобразованиями Галилея. Надо понимать, что повороты пространства и сдвиги (перенос и поворот осей координат в пространстве, без времени) есть и там и там, это тривиальная подгруппа и она для нас особого интереса не представляет (хотя очень важна!). Вся движуха вокруг равномерно прямолинейно движущихся систем отсчета, то есть координат в пространстве-времени. У Галилея этo x'=x+vt, t'=t; у Лоренца см выше. В трехмерном (одномерном для простоты) пространстве вроде как нуль "уезжает", но в четырехмерном (двумерном у нас в примере) пространстве-времени — нет. Галилеевы преобразования получаются как предел Лоренцевых.
Общему случаю, когда скорости направлены в разные стороны, я посвящу отдельный материал: там есть кое-что интересное.
Выводы такие: преобразования Лоренца образуют группу, причем обратное получается просто сменой знака параметра (скорости), что немаловажно для физики.
Второе: параметр (скорость) композиции преобразований равен релятивистской сумме параметров (скоростей).
Третье: технически тут особых сложностей нет. Немного возни с формулами, но даже в уме это без особых проблем проделывается. Но поди сделай это в первый раз!
Замечу, что вообще группы Лоренца-Пуанкаре чуть сложнее, ведь пространство-время делится на световой конус и его внутренность с прошлым и будущим, а также пространственно-подобная область вне. Но нам довольно и этой подгруппы.
И последнее. Таких наборов преобразований, которые математически походят (образуют группы) и физически удовлетворительны — не так много. Группа Галилея x'=x+vt, и преобразования Лоренца при различных значениях c. Причем первая получается как предел при с→∞. Поэтому и говорится, что вариантов нет, а антирелятивисты просто глупые и не понимают базовых вещей. "Очевидная" группа Галилея не выдерживает более тонких проверок, даже не экспериментальных (хотя и их тоже), а теоретических. Уравнения Максвелла ломаются в подвижной системе координат. E=mc² при бесконечной c означало бы, что во Вселенной летают лишь безмассовые частицы, и даже не летают, а их и нет (улетели). Об этом в другой раз. Остается группа Лоренца-Пуанкаре при каком-то c, которое можно принять за единицу. Сколько там в метрах в секунду или аршин за сутки, уже не так важно.
Кстати, как вы произносите фамилию Лоренц? Лóренц и Лорéнц?
