В сознании людей математика прочно укоренилась в качестве уважаемой, но весьма таинственной науки, оперирующей широко известными, но в то же время мало понятными понятиями: от числа "пи" до "пределов" и "интегралов".
Сосчитать до бесконечности
Несомненно, одним из наиболее мистифицированных в людском сознании математических объектов является бесконечность. О бесконечности принято думать как о нечто большем, чем все остальные числа или величины. К примеру, множество так называемых натуральных чисел, то есть всех чисел, используемых для счета, - 1, 2, 3 и так далее, - очевидно, бесконечно: какое бы большое число мы не рассмотрели, к нему всегда можно прибавить единицу.
Казалось бы, вопрос закрыт: вот он - пример бесконечного множества, а ничего больше быть, разумеется, не может; на то ведь оно и бесконечное, верно?
Не совсем.
Бесконечность - не предел
Немного подумав над рассмотренным выше примером натуральных чисел, можно задаться следующим вопросом: хорошо, а что будет, если из натуральных чисел взять и сколько-нибудь чисел выкинуть? А что, если сразу "половину"?
Например, рассмотрим теперь четные числа, то есть те, которые делятся без остатка на 2: 2, 4, 6, 8 и так далее. Очевидно, это множество тоже бесконечно: к любому четному числу можно прибавить 2 и получить следующее четное.
Однако как соотносятся "размеры" множеств четных и всех натуральных чисел? Интуитивный ответ - множество натуральных чисел больше: действительно, ведь четные-то числа в нем есть, да еще и нечетные помимо них. Оказывается, впрочем, что с точки зрения математики "размеры" этих множеств абсолютно одинаковы.
А как их вообще сравнить?
Действительно: если мы хотим сравнить размеры обычных, конечных множеств, то самый простой способ - просто сосчитать количество элементов в каждом из них и сравнить полученные числа. В нашем же случае, очевидно, так сделать не получится, так как считать в обоих случаях придется до бесконечности.
Другой, немного более странный способ сравнить размеры конечных множеств - сопоставить каждому элементу одного множества ровно один элемент другого. Если так сделать получится, то множества, очевидно, равны по размеру; если же в каком-то из них остаются лишние элементы, то оно, стало быть, больше. Давайте теперь применим этот метод сравнения к четным и натуральным числам: можно сопоставить каждому натуральному числу его же, умноженное на 2 - это число будет четным. И наоборот, для любого четного числа можем взять его же, деленное на 2, и покрыть таким образом все натуральные числа.
Стало быть, размеры множеств натуральных и четных чисел совпадают, несмотря на то, что одно из них является подмножеством другого.
Бывает и больше!
Дальше - интереснее: рассмотрим еще один пример - все числа от 0 до 1, включая даже таких монстров, как, например, 0.7874423874141... . Множество таких чисел также, очевидно, бесконечно.
На первый взгляд кажется, что странно ждать от такого множества, зажатого между 0 и 1, чего-то большего. Впрочем, оказывается, что тут начинается самое интересное: множество всех чисел от 0 до 1 "больше", чем множество натуральных чисел!
Диагональный аргумент Кантора
Вместо того, чтобы сослаться в этом месте на учебник математики, тем самым укрепив представление о математике как о чем-то мистическом, давайте убедимся, что никакой мистики тут нет, и докажем это утверждение самостоятельно. Для этого воспользуемся тем же способом сравнения множеств, что обсуждался выше, и будем рассуждать "от противного": предположим, что множество чисел от 0 до 1 ничуть не больше, то есть каждому натуральному числу можно поставить в соответствие число от 0 до 1, и при этом все числа от 0 до 1 будут покрыты. Если же мы, начав рассуждать от этого предположения, придем к противоречию, то тем самым покажем, что исходное предположение, следовательно, неверно - стало быть, какие-то числа от 0 до 1 в любом случае останутся непокрыты, а, следовательно, натуральных чисел меньше.
Итак, согласно нашему предположению, такое так называемое взаимно-однозначное соответствие существует; к примеру, пусть оно выглядит так:
Здесь слева - натуральные числа, справа - десятичная запись соответствующего ему числа от 0 до 1.
Теперь давайте рассмотрим число от 0 до 1, которое получится, если взять все цифры на диагонали этой таблицы:
В нашем примере получим число 0.37210... . Теперь, собственно, фокус: увеличим каждую цифру этого числа на 1 (а если там было 9 - то запишем на его место 0), получив 0.48321...
Утверждаю, что этого числа в этой бесконечной таблице нет и быть не может.
В самом деле, числу от 0 до 1 в первой строке оно не равно: как минимум в первой цифре после запятой они различаются - мы специально увеличили ее на 1. Числу во второй строке оно тоже не равно - вторые цифры точно разные. В общем случае, числу в n-ной строке оно тоже не равно из-за разницы в n-ном знаке после запятой.
Итак, мы попытались сопоставить каждому натуральному числу число от 0 до 1 и нашли "лишнее", непокрытое число - а предполагали, что могли покрыть все! Стало быть, получили искомое противоречие. Теорема доказана! Данное доказательство называется "диагональным аргументом Кантора" в честь немецкого математика Георга Кантора, впервые предложившего доказательство еще в 1892 году.
А насколько больше?
Итак, мы установили, что не все бесконечности равны: некоторые бесконечные множества больше других. Множества, равные по "размеру" множеству натуральных чисел, принято по понятным причинам называть счетными, а равные множеству чисел от 0 до 1 - несчетными или континуальными.
Насколько же континуальные множества больше счетных? Оказывается, в бесконечное количество раз! Чтобы в этом убедиться, сопоставим каждому натуральному числу число от 0 до 1 простым способом: 1 -> 1, 2 -> 1/2, 3 -> 1/3, 4 -> 1/4 и так далее. Выкинем теперь эти числа из множества чисел от 0 до 1.
Можно легко показать, что "размер" такого множества ничуть не изменился, и оно все равно континуальное!
Получается, что по сравнению с континуальными множествами счетные, несмотря на свою бесконечность, настолько малы, что если выкинуть из континуального множества счетное количество чисел, то оно этого даже не заметит.
Ну а на этом-то все?
Разумеется, нет. Мы пока не затронули, например, вопрос о том, бывает ли что-то больше, чем континуум (спойлер: да), или бывает ли что-то между счетными и континуальными множествами (спойлер: никто до сих пор этого не знает). Однако эти темы стоит оставить для следующих статей.
