Найти в Дзене
Поддержите автораПеревод на любую сумму
От обобщённого фрактала Ньютона к фракталу Нова.
В предыдущеё статье я описывал обобщённый фрактал Ньютона: Если продолжить рассмотрение обобщённого фрактала Ньютона для "стандартного" комплексного многочлена F(z)=z^5-1, но с отрицателными или дробными степенями, эффект будет тот же: действительной частью постоянной a мы вносим возмущения в формулу метода Ньютона, поэтому фракталы становятся красочнее, хотя корни находятся медленнее. Мнимая часть постоянной a также вносит возмущения в формулу метода Ньютона, они проявляются в закручивании фрактала...
1 день назад
От бассейнов Ньютона к обобщённому фракталу Ньютона.
Немного о методах Ньютона и Галлея: Рассмотрим бассейн Ньютона для "стандартного" многочлена F(z)=z^5-1. А теперь попробуем расширить логику вычисления бассейнов Ньютона до обобщённого фрактала Ньютона: Похоже, знак мнимой части постоянной a определяет направление закручивания бассейна. Знак действительной части постоянной a должен быть положительным - иначе метод не находит ни одного корня и рисует чёрный экран. Если действительная часть постоянной a меньше 1, метод как бы работает с замедлением, так как мы уменьшаем долю изменяемой части в формуле итерации...
2 дня назад
Африканская бижутерия и фрактал Ньютона - сравните сами.
2 дня назад
Численные методы и их фракталы - программа на чистом JavaScript для исследования и рисования.
Что такое чистый JavaScript (или, по-другому, «ванильный JavaScript»)? Термин «ванильный JavaScript» (Vanilla JavaScript) подразумевает использование чистого JavaScript без каких-либо дополнительных библиотек или фреймворков. Он стал популярным после того, как Эрик Вастл в 2012 году в шутку создал сайт Vanilla JS. Сайт призван привлечь внимание к тому факту, что во многих случаях можно использовать просто чистый JavaScript. Численные (вычислительные) методы — методы решения математических задач в численном виде, если точная формула для решения в общем виде неизвестна или очень сложна...
1 неделю назад
Метод Мюллера и его фракталы.
Добавил в программу численный метод Мюллера: В зависимости от порядка выбора двух начальных точек здесь будет аж семь вариантов метода. Попробуем испытать их на стандартном уравнении z**5 - 1 = 0. Корни находятся очень быстро, потому что сам многочлен и есть подобие параболы, поэтому аппроксимация параболой работает лучше всего. Хотя я не могу представить себе, как выглядит "парабола" функции комплексного переменного.... Остальные шесть вариантов для каждой точки выбирают две начальные точки, как описано в подсказке...
1 неделю назад
Фрактал Мандельброта и фрактал метода хорд - совпадение? Не думаю... Знакомые сюжеты, не правда ли. Касательно метода хорд - это один из мелких фрагментов для уравнения z^5-1=0.
1 неделю назад
Рациональный и иррациональные методы Галлея.
Про рациональный числовой метод Галлея я писал раньше и не один раз. Например, Но, оказывается, есть ещё иррациональный числовой метод Галлея: Мне было очень интересно добавить в программу этот метод и сравнить оба метода Галлея. Причём, иррациональные метод имеет две итерационные формулы. Итак, на "стандартном" уравнении мы имеем намного большую скорость и точность нахождения корней: В рациональном методе Галлея потребовалось 6...
2 недели назад
Что такое пейсли? Википедия говорит, что это: Бута́ или пейсли, турецкий огурец, персидские огурцы, восточный огурец, индийский огурец, турецкий боб — миндалевидный узор с заострённым загнутым верхним концом. Мотив бута известен у многих народов Востока на обширной территории. Хорошо известен в странах Ближнего Востока и в Европе. Узоры и рисунки с мотивами бута встречаются в оформлении ковров и тканей, в росписях произведений декоративно-прикладного искусства, а также в декоре архитектурных сооружений. Пример: Антикварная Шотландская Шаль «Пейсли» Середина XIX Века. С другой стороны пример - фрактал численного метода хорд для уравнения z**7+z**6+z**5+z**4+z**3+z**2+z-1=0, где z - комплексное число. Не правда ли, очень похоже. И вряд ли люди могли когда-то давно подсмотреть сюжет у фракталов.
3 недели назад
Метод хорд - ещё один источник сюжетов для фракталов
Метод хорд - довольно простой и поэтому медленный метод с линейной сходимостью. Рассмотрим поведение метода на стандартном сюжете и параметрах. Неожиданно проявился такой сюжет: Это обещает множество сюжетов, и, на самом деле, есть простор для исследования. Остальные три варианта более узнаваемы - зародыши...
3 недели назад
Фракталы метода секущих - есть интересные сюжеты.
Метод секущих (не путать с методом хорд - статья в Википедии общая для двух методов): - это ещё один численный метод решения уравнений, который я добавил в свою программу. Как видно, многое зависит от выбора начальной точки, поэтому я добавил в программу несколько вариантов метода. Попробуем исследовать фракталы метода на "стандартном" уравнении Z**5 - 1 = 0 с теми же стандартными параметрами как в методах Ньютона и Галлея: Как ни странно, эти два варианта дают одинаковые изображения, и корни найдены почти везде, поэтому бассейны как бы "растеклись"...
3 недели назад
Метод одной касательной (упрощение метода Ньютона) - новый источник фракталов с неожиданным сюжетом.
Добавил в программу метод одной касательной: Интересно проверить поведение метода на "стандартном" уравнении Z**5 - 1 = 0 Если взять те же параметры как в методах Ньютона и Галлея: , то получим такой фрактал (то, что это именно фрактал, будет ясно позже): Статистика запуска: Как видно, фрактал совсем не похож на бассейны Ньютона или Галлея. Даже если мы увеличим максимальное количество итераций и приблизим сам фрагмент, то получим отнюдь не бассейны, а только их "зародыши"...
1 месяц назад
Метод Ньютона и метод Галлея для численного решения уравнений - сравнение.
Добавил в свою JavaScript программу метод Галлея. Интересно сравнить оба метода. Вот краткое описание обоих: Изображения формул мелковаты, но их можно увеличить в отдельном окне. Метод Галлея более сложный в вычислении и использует не только первую производную, как метод Ньютона, но также и вторую производную. Возьмём для поиска корней классическое уравнение Z**5 - 1 = 0 Фрактал "бассейн Ньютона" для этого уравнения неизменно приводится в статьях всех википедий и кочует из одного реферата в другой...
1 месяц назад