Отредактировано.
Продолжение
В предыдущей статье произведена оценка скорости ракеты-носителя Сатурн-5, во время пролёта сквозь облака.
При этом предполагалось, что хронометраж видео старта «Аполлон-11» соответствует реальному.
Но после сравнения полученного результата с отчётными данными НАСА выяснилось, видео А. Северского ускорено.
В расчётной модели предыдущей статьи не учитывался диаметр ракеты. Это позволило сильно упростить оценку скорости Сатурн-5 в момент пролёта через облака. Значение скорости при этом получается заниженным - 284 м/с, но даже такая скорость оказалась выше скорости по отчётам НАСА на момент времени полёта в облаках по видео А. Северского (48 секунда) - 181,7 м/с. Этот факт и говорит об ускоренности видео старта Аполлон-11 от А. Северского.
Для более менее точной оценки скорости ракеты-носителя Сатурн-5 при пролёте через облака необходимо ответить на два вопроса:
Во сколько раз ускорен видеоролик А. Северского?
На какую высоту ΔН затеняется ось ракеты её нижним краем?
Во сколько раз ускорено видео старта Аполлон-11 от А. Северского
Теперь, вычислим ускоренность видео от А. Северского, и определим момент времени пролёта ракеты-носителя Сатурн-5 через облака, и произведём расчёт скорости Сатурн-5 в этот момент времени.
Вычислить ускоренность видео можно сравнивая временные отрезки прохождения кабель-заправочной башни в фильме и по отчёту НАСА.
Отсчёт этих отрезков времени удобно вести от 0,3 секунды после старта. Именно в этот момент производится отсоединение консолей от ракеты-носителя. И на большинстве видео старта Аполлон-11 этот момент времени хорошо виден по отсоединению верхней консоли кабель-заправочной башни.
Для начала, вычислю время подъёма ракеты-носитель Сатурн-5 на высоту кабель-заправочной башни, используя таблицу,
созданную на основе отчётов НАСА.
Построим в Excel зависимость времени подъёма Сатурн-5 от достигнутой высоты. Так сказать, график "наоборот". По такому графику будет легко рассчитать время подъёма Сатурн-5 на высоту башни.
Высота башни равна 398 футов или 121,31 метра.
На полученном графике, возьмём четыре точки (по две справа и слева от высоты башни) и построим линию тренда для зависимости времени подъёма ракеты от высоты этого подъёма.
Что бы рассчитать время подъёма Сатурн-5 на высоту кабель-заправочной башни, нужно подставить в уравнение линии тренда высоту этой башни - 121,31 метр.
В результате, время подъёма Сатурн-5 на высоту башни (по отчётам НАСА) составляет 10,34 секунды. А от момента отсоединения консолей оно меньше на 0,3 секунды и равно 10,04 секунды.
Теперь определим это время по видео А. Северского.
Консоли кабель-заправочной башни на видео отходят на 3 минуте 13 секунде 23 кадре
Подъём на высоту башни запечатлён на 3 минуте 20 секунде 12 кадре
Частота кадров в ролике А. Северского 30 кадров в секунду.
Тогда время подъёма Сатурн-5 на высоту башни от момента отведения консолей 20 + 12/30 - 13 - 23/30 = 6,6(3) секунды.
Видео старта Аполлон-11 ускоренно в 10,04 / 6,6(3) = 1,51 раза.
В видеоролике не содержится сдвоенных кадров, имеющих в себе сцены из соседних кадров. Значит при ускорении целое число кадров в секунду в исходном видео переведено в другое целое число кадров за секунду в опубликованном видеоролике. Тогда ускоренность этого видео должна выражаться при помощи обыкновенной дроби, то есть в данном случае 3/2.
Ускоренность определена, и уже можно дать предварительную оценку скорости ракеты при пролёте сквозь облака. В ней пока ещё не будет учтено влияния диаметра ракеты на длину её тени и она будет занижена. Более точная оценка в конце статьи. А пока, делим скорость 284 м/с, определённую в предыдущей статье, на 1,5, и получаем значение скорости Сатурн-5 в момент времени пролёта через облака не менее 189 м/с.
Определим этот момент времени.
По видео А. Северского ракета-носитель Сатурн-5 начинает отбрасывать тень в облаках на 47,1 секунде от момента отсоединения консолей. С учётом ускоренности видеоролика в 1,5 раза и 0,3 секунд между стартом и отведением консолей, настоящее время от старта до входа в облака составляет 0,3 + 1,5 · 47,1 = 70,95 секунды.
Высота затенения продольной оси ракеты краем её основания
Для понимания того, как диаметр ракеты влияет на длину её тени, и следовательно - на оценку её скорости, ещё раз приведу рисунок из предыдущей статьи.
По этой схеме видно, за промежуток времени Δt = tк - tн тень, скользящая по облакам, преодолевает расстояние равное своей длине, а сама ракета при этом пролетает расстояние ΔL = Hр + ΔH.
Hр - высота ракеты,
ΔH - длина части оси, затенённой нижним краем корпуса ракеты.
Скорость Сатурн-5 при пролёте облаков равна V = ΔL / Δt.
Величина Δt = 0,3(6) сек. определена в предыдущей статье, но нуждается в корректировке с учётом ускоренности b видео старта Аполлона-11, снятого А. Северским.
Если учесть вышесказанное, то скорость Сатурн-5 в облаках определится по такому выражению
V = (Hр + ΔH) / (b · Δt)
b - ускоренность видео старта Аполлона-11.
Для вычисления ΔH изобразим решение этой задачки в пространстве
Ракета летит по азимуту (угол между направлением на север и направлением полёта) AZр и имеет угол наклона к горизонту Θ.
Солнце, расположенное на высоте αс и по азимуту AZс, освещает ракету под некоторым углом.
Один из солнечных лучей, проходящих по нижнему краю ракеты, пересекает ось ракеты в точке А'
Требуется найти длину отрезка, лежащего на оси ракеты, между точками 0' и A'
Это и есть длина ΔH.
Точка A, через которую проходит солнечный луч, пересекающий ось ракеты, проецируется на плоскость запуска ракеты X0Z в точку B.
Точка A' проецируется на днище ракеты в точку 0'. Все эти точки A, B и 0' лежат на днище ракеты.
Также точки A, B и A' проецируются на горизонтальной плоскости X0Z в точки D, C и N соответственно.
При взгляде на проекцию в плоскости запуска ракеты X0Y
видно
ΔH = |B0'| / tg(Θ - αс.п.)
Угол αс.п. является проекцией угла αс на плоскость запуска ракеты.
Он равен
αс.п. = arctg( tg(αс) / cos(ΔAZ) )
ΔAZ - разность азимута Солнца и азимута пуска ракеты
ΔAZ = AZс - AZр
Значит, ΔH можно определить, вычислив длину отрезка |B0'|.
Его величина определяется следующим выражением
Длина |А0'| это расстояние от нижнего края ракеты до её оси.
Итак, решение задачи сводится к определению угла A0'B. Для этого рассмотрим угол A0'B, угол AA'B, и угол DNC.
Угол A0'B, лежащий в плоскости днища ракеты,
является проекцией угла AA'B
поэтому
Также угол DNC, лежащий в горизонтальной плоскости X0Z
является проекцией этого же угла AA'B
и поэтому
Пояснение
Если для определения взаимосвязи величин проецируемого угла и его проекции используется угол между плоскостью проецируемого угла и плоскостью проекции, то применяется косинус этого угла.
Если для этого используется угол между плоскостью проецируемого угла и перпендикуляром к плоскости проекции, то применяется синус этого угла.
Статья о вычислении натуральной величины угла по его проекции
Итак, получены два уравнения для одной и той же величины тангенса угла AA'B. Благодаря этому имеется возможность выразить значение угла A0'B через угол DNC, равный по величине разности азимутов пуска ракеты и Солнца ΔAZ.
В итоге, получаем формулы для вычисления величины затенённого участка оси ракеты:
1) разность азимута Солнца и азимута пуска ракеты в момент времени пролёта Сатурн-5 через облака
2) проекция угла возвышения Солнца на плоскость запуска Сатурн-5
3) угол в плоскости нижнего днища ракеты между плоскостью запуска и прямой, проходящей через центр днища и точку нижнего края ракеты, в которой происходит касание солнечного луча, пересекающего ось ракеты
4) длина проекции |B0'| на плоскости запуска ракеты
[A0'] отрезок между центром днища и точкой нижнего края ракеты, в которой происходит касание солнечного луча, пересекающего ось ракеты,
5) высота затенённого участка оси ракеты
Исходными данными здесь являются:
- высота Солнца αс,
- азимут Солнца AZс,
- азимут пуска ракеты AZр,
- расстояние от центра днища до нижнего края ракеты |А0'| (обозначим как r),
- угол тангажа Θ.
Высоту Солнца и его азимут можно определить с помощью астрономического калькулятора на широте и долготе запуска в момент пролёта Сатурн-5 через облака 16 июля 1969 года.
При этом следует учесть, время старта Аполлон-11 указанно по летнему времени, то есть реальное время пролёта через облака равно 8 часов 32 минуты плюс Tобл (время от старта ракеты до входа в облака).
Широту пуска 28.608422° и долготу пуска -80.604133° взял из APOLLO BY THE NUMBERS A statistical reference for the manned phase of Project Apollo.
Значение азимут пуска ракеты 72.058° тоже взято из APOLLO BY THE NUMBERS A statistical reference for the manned phase of Project Apollo.
Положение Солнца в момент пролёта Сатурн-5 через облака определим с помощью калькулятора положения Солнца.
Во время пролёта (8 часов 33 минуты и 11 секунда) на широте 28.608422° и долготе -80.604133°)
высота αс и азимут AZс Солнца.
имеют такие значения
αс = 36,51°
AZс = 83,52°
Радиус r от оси ракеты до точки А, определим таким образом.
Пусть эта точка находится на краю сажевой пелены реактивной струи по внешней границе обтекателей двигателей первой ступени.
Так как габариты Сатурн-5 по обтекателям двигателей первой ступени равны 13 м, то r = 6,5 м.
Угол тангажа Θ определяется по программе выведения ракеты-носителя Сатурн-5.
Его значение можно взять из отчётной таблицы траектории полёта ракеты-носителя Сатурн-5 в момент времени 71 секунда, в который происходил пролёт ракеты через облака.
Θ = 60,46⁰
Простой расчёт скорости ракеты-носителя "Сатурн-5" на 71-й секунде полёта
Тогда по вышеизложенным формулам и исходным данным ΔH = 14 метров,
а скорость пролёта ракеты-носителя "Сатурн-5" через облака
V = (Hр + ΔH) / (b · Δt) = (104,29 + 14,03)/(1,5 · 0,3(6)) = 215,13 м/с
В этом случае вычисления не только просты, но и полностью основаны на отчётных данных и кинохронике. Поэтому в дальнейшем буду использовать значение скорости ракеты-носителя "Сатурн-5" на 71-й секунде полёта полученное этим способом V(71) = 215,1 м/с.
Расчёт посложнее
А можно угол тангажа Θ вычислить по программе выведения представленной в виде зависимости от относительной массы ракеты µ.
Во таком случае вычисления будут сложнее, ибо выше приведённые уравнения придётся дополнить до системы, состоящей из десяти уравнений, решать которую придётся методом последовательных приближений.
Такой подход можно критиковать как нестрогий расчёт по «самодельным» формулам. Но помимо того, что он даёт в качестве решения практически такое же значение скорости ракеты во время прохождения облачного слоя, как и при использовании угла тангажа Θ, взятого из отчётной таблицы, он позволяет произвести расчёт параметров ракеты-носителя Сатурн-5 в конце активного участка первой ступени: скорость полёта, относительную массу ракеты и угол тангажа. Также благодаря такому подходу можно вычислить: стартовую массу Сатурн-5, массу топлива первой ступени, тягу одного двигателя первой ступени F-1 и время отключения центрального двигателя.
Вот эти уравнения, необходимых для таких вычислений:
6) программа выведения на участке траектории полёта во время работы первой ступени
Значение µ в момент пролёта через облака вычисляется по скорости ракеты в облаках V, используя выражение
Так как в этой формуле используется среднеинтегральное значение удельного импульса двигателей на участке траектории от уровня моря до достигнутой высоты полёта, а не удельный импульс в пустоте, то потери на противодавление не учитываются.
Δua - аэродинамические потери. Оценим их величину в долях от характеристической скорости ракеты на активном участке первой ступени.
Так как характеристическая скорость в конце работы первой ступени Сатурн-5 миссии Аполлон-11 равна 3673,1 м/с и аэродинамические потери к этому моменту времени составляют 46,4 м/с, то доля этих потерь - 0,013 (1,3%).
Тогда
Δua = - 0,013 · <J>Ln(µ)
А выражение для вычисления относительной массы Сатурн-5 во время пролёта сквозь облака примет такой вид
7)
8) скорость Сатурн-5 в облаках
V = (Hр + ΔH) / (b · Δt)
Значение среднеинтегрального по высоте удельного импульса примем равным удельному импульсу на уровне моря, так как высота облаков не известна
<Jобл> = 2594 м/с.
9) гравитационные потери Сатурн-5 во время полёта сквозь облака Δug вычислим по следующим формулам:
Здесь t = Tобл - промежуток времени от старта до пролёта через облака.
10) среднеквадратичное значение синуса угла между вектором скорости ракеты и плоскостью местного горизонта за время полёта от старта до входа в облака
здесь µ = µобл
Итак, мы имеем систему из десяти уравнений. И всё это ради вычисления высоты ΔН затенения оси ракеты её нижним краем, и для вычисления скорости Сатурн-5 при пролёте через облака.
Решим эту систему из десяти уравнений в Excel методом последовательных приближений.
Попутно, произведём расчёт параметров Сатурн-5 в конце активного участка первой ступени:
скорость полёта,
относительную массы ракеты и
угол тангажа.
А также вычислим:
стартовую массу Сатурн-5,
массу топлива первой ступени и
тягу одного двигателя первой ступени F-1, и
время отключения центрального двигателя.
Сделать это просто с помощью уравнений (1) и (2) из статьи
По ним определяется относительная масса ракеты-носителя Сатурн-5. После подстановки и преобразований выражение для вычисления относительной массы ракеты после отключения всех двигателей первой ступени
(это выражение можно использовать для вычисления относительной массы Сатурн-5 в любой момент времени в промежутке после отключения центрального двигателя до отключения периферийных двигателей первой ступени. Для этого вместо времени отключения периферийных двигателей Toeco в это уравнение подставляется текущее время полёта).
Зная µк можно рассчитать все вышеперечисленные параметры ракеты просто подставляя его значение в следующие формулы:
- скорость Сатурн-5 после отключения двигательной установки первой ступени.
t = Toeco
Toeco = 161,33 с
ΔUa = 46.4 м/с - аэродинамические потери Сатурн-5 после отключения
двигательной установки первой ступени.
- угол тангажа Сатурн-5 после отключения двигательной установки первой ступени
- стартовая масса
Mo = Mк / µк , [тонн]
здесь Mк = 827,292 тонн - масса Сатурн-5 после отключения
двигательной установки первой ступени.
- масса топлива на старте
Mт = Mo - Mк , [тонн]
- тяга одного двигателя F-1
P = n0 · Mo / 5 , [тонн-сила]
Файл Excel с расчётом скорости пролёта через облака на Яндекс-диск.
И, наконец-то, результаты расчёта
Расчёты по видеоролику А. Северского дают неутешительный результат для ракеты-носителя Сатурн-5 миссии Аполлон-11:
- скорость на 71 секунде полёта в облаках 210,5 м/с вместо 366,2 м/с по отчёту НАСА. (Как видно, это значение скорости мало отличается от величины скорости 215,1 м/с, которое было получено при простом расчёте, использующем готовое значение угла тангажа ракеты, взятое из таблицы полётной траектории. Отличие составляет всего 2%.)
- время отключения центрального двигателя 39 секунда вместо 135
Достижения американской лунной ракеты по расчётам в этой статье оказываются такими же, как и в расчётах, выполненных на основе кадров, снятых с самолёта наблюдения и показанных в фильме «Moonwalk One» (1970):
- скорость в конце работы первой ступени 1499,0 м/с вместо 2393,3 м/с.
- тяга двигателя F-1 533 тонн-силы вместо заявленных 691 тонн-силы.
Вывод:
Ракета-носитель Сатурн-5 миссии Аполлон-11 летела куда угодно, только не на Луну.