О математике простым языком: от школы к университету

Николай Иванович Лобачевский совершил интеллектуальную революцию, практически не покинув стены Казанского университета, где прожил почти всю свою жизнь, сначала как студент, затем как профессор, а позже и как ректор. В 1826 году учёный выступил с докладом, который его современники не поняли и не приняли. Он предложил отказаться от пятого постулата Евклида — того самого, который гласит, что через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Две тысячи лет математики пытались доказать этот постулат, считая его не совсем очевидным, но всё же истинным...

Традиционно считается, что математика возникла из таких практических нужд, как счёт, измерение земли, строительство. С этим сложно поспорить. Но очень быстро математика оторвалась от своих прикладных корней. Геометрия Евклида, бывшая тысячелетия образцом строгости, описывает пространство, которого нет в природе. Евклидовы прямые бесконечно тонки, плоскости идеально ровны, а параллельные линии действительно никогда не пересекаются. В физическом мире таких объектов не существует. Тем не менее, двухтысячелетняя...

Когда вы в последний раз играли в крестики-нолики? Этой игре не нужны батарейки, гаджеты или стабильный интернет. Достаточно клочка бумаги или, в крайнем случае, запотевшего стекла в автобусе. Две пересекающиеся линии, две перпендикулярные — и вот уже готово поле. И кто бы мог подумать, что эта незамысловатая сетка окажется невообразимо точной копией нашего с вами существования. Мы все хотим ходить первыми. Даже если великодушно уступаем право первого хода, в глубине души нам кажется, что тот, кто начинает, — уже наполовину победитель...

Критика бывает разной — конструктивной, разгромной, предвзятой, излишне субъективной и так далее, — но, в целом, следует назвать критику отношением особого рода, которое мы проявляем к обозреваемым объектам и субъектам. Конечно, в жизни критика инструмент очень полезный, особенно в те моменты, когда нами пытаются манипулировать, обмануть нас, воспользоваться нашем доверием. Критика помогает не быть наивными. В идеале, в основе критического подхода лежат рациональность и логика, благодаря которым...

Футурология — это область знания, которая пытается заглянуть за горизонт настоящего и представить, каким может стать мир через десять, пятьдесят или сто лет. В отличие от научной фантастики, которая, как правило, «украшает» свои картины любыми вымыслами, футурология стремится к строгости. Её инструменты состоят из экстраполяции трендов, моделирования сложных систем, анализа больших данных и междисциплинарного синтеза. Экономист, физик, социолог, биолог и специалист по искусственному интеллекту, собранные за одним столом, могут увидеть то, что не заметит каждый по отдельности...

Мы живём в эпоху, когда информация стала доступнее, чем когда-либо. Учёные освоили технологию редактирования гены, они способны запускать ракеты к Марсу, создавать искусственный интеллект, пишущий стихи и диагностирующий болезни. Кажется, что наше знание о мире достигло небывалых высот. И чем больше мы знаем, тем увереннее должны смотреть вперёд, тем точнее должны быть наши прогнозы. Но происходит обратное: горизонт планирования сокращается, предсказания экономистов сбываются всё реже, а будущее, которое ещё вчера казалось ясным, сегодня выглядит размытым и тревожным...

Запуская любимую компьютерную игру, вы погружаетесь в мир, который кажется живым и настоящим. Персонажи двигаются плавно, ветер колышет траву, враги реагируют на ваши действия, а случайные события словно бы происходят сами собой. За этим представлением стоит огромная команда разработчиков: художники рисуют миры, программисты пишут код, сценаристы придумывают сюжеты. Но есть ещё один невидимый герой, без которого ни одна игра не смогла бы даже запуститься. Барабанная дробь... Это математика! И пусть...

Когда мы произносим слова «алгебра», «алгоритм», «цифра», мы редко задумываемся об их происхождении. А между тем все они пришли в европейские языки из арабского, и все они — наследие эпохи, которую историки называют золотым веком арабской науки. В VIII–XIII веках, когда Европа погружалась в раннее Средневековье, а античное наследие казалось утерянным навсегда, на Востоке кипела интеллектуальная жизнь. Учёные переводили греческие рукописи, спорили о трудах индийских математиков, строили обсерватории и создавали то, без чего немыслима современная математика...

Когда математик выводит новую теорему, он испытывает странное чувство, которое трудно описать словами. С одной стороны, он ощущает себя творцом — ведь именно он, напрягая ум, нашёл путь через лес символов и выстроил стройную цепочку рассуждений. С другой — его не покидает ощущение, что теорема уже была там, ждала его, как ждёт путешественника ещё не открытый материк. Он не придумал её, он её нашёл. Это двойственное переживание — быть одновременно и творцом, и первооткрывателем — лежит в самом сердце математического опыта...

Представьте человека, который произносит: «То, что я сейчас говорю, — ложь». Если высказывание истинно, значит, он действительно говорит правду, однако утверждает он, что лжёт. Следовательно, оно должно быть ложным. Но если оно ложно, значит, он не говорит правду, то есть на самом деле он не лжёт. Следовательно, оно истинно. Это, казалось бы, безобидное предложение заводит логику в тупик. Оно истинно тогда и только тогда, когда оно ложно. Это и есть парадокс лжеца — одна из древнейших интеллектуальных головоломок, которая уже две тысячи лет не даёт покоя философам, логикам и математикам...

История π началась задолго до того, как оно получило своё имя. Древние вавилоняне довольствовались грубым приближением — 3,125. Египтяне были чуть точнее. Архимед в III веке до нашей эры впервые предложил метод, позволяющий вычислить π с любой желаемой точностью: он описывал вокруг окружности многоугольники и вписывал их, постепенно увеличивая число сторон. Ему удалось установить, что π находится между 3,1408 и 3,1429. Это был прорыв: π перестало быть таинственным соотношением и превратилось в число, которое можно изучать...

Когда мы произносим слово «бесконечность», наше воображение обычно рисует что-то безграничное, необъятное, то, что нельзя измерить или сосчитать. Мы привыкли думать, что бесконечность — это просто «очень много», предел, которого нельзя достичь. Но в конце XIX века Георг Кантор совершил революцию, которая перевернула наши представления о бесконечности. Он доказал, что бесконечностей бывает не одна, а бесконечно много, и что среди них есть разные размеры. Кантор начал с простого вопроса: как сравнивать...