Про теорему Виета почти все школьники старших классов где-то когда-то слышали. Но вот по моему опыту применять ее на практике могут только двое из десяти. Что же так затрудняет использование этой не самой сложной теоремы? Отсутствие видения чисел, по моему скромному мнению. Попробуем это видение включить. Поехали.
Что такое теорема Виета?
Два слова об авторе. Франсуа Виет — французский математик 16 века, основоположник символической алгебры. Ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, входящих в алгебраические уравнения, но и для коэффициентов уравнений.
Теорема Виета в алгебре устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Она позволяет найти сумму и произведение корней, не решая само уравнение. Формулы суммы и произведения корней показаны на рисунке в начале статьи. Но мы пойдем немного дальше.
В каноническом виде квадратное уравнение представляется как:
ax^2+bx+c=0, где х - неизвестная, a b c - коэффициенты.
Такое уравнение всегда можно привести к виду:
x^2+fx+g=0, где х - неизвестная, f и g - коэффициенты.
Для этого достаточно просто поделить все члены уравнения на а. Такое уравнение называется приведенным. Именно для приведенных уравнений хорошо использовать теорему Виета. Об этом ниже.
Итак, вместо решения квадратного уравнения через дискриминант можно решить систему двух уравнений: х1+х2=-f и х1*х2=g, потом найти х1 и х2, что может оказаться значительно проще. Покажем на примерах.
Примеры использования теоремы Виета
Систему, построенную по теореме Виета, можно и не решать. Иногда достаточно внимательного взгляда на квадратное уравнение, чтобы с использованием теоремы Виета подобрать корни. Конечно же, правильность подбора корней следует проверить, подставив их в исходное уравнение. Посмотрим пару примеров.
Пример 1. x^2-7x+10=0
Решая через дискриминант, который равен d=787-4*10=9 получим корни 2 и 5. Внимательно посмотрев на уравнение мы видим, что произведение корней 10, а их сумма 7. Корни 2 и 5 просто видно. Теорема Виета работает! но нужна тренировка такого видения.
Пример 2. x^2-20x+91=0
Через дискриминант решать уже посложнее в аспекте арифметики. А видение помогает найти корни сразу. 91=7*13. Попробуем сложить. Получим 20. Теорема Виета выполнена, значит 7 и 13 это корни уравнения.
Подобные задания есть в ОГЭ (задание 9). Вот пример (№ 314495 из "Решу ОГЭ"):
Пример 3. x^2+4=5х
Решаем в 2 действия: сначала переносим 5х со знаком минус в левую часть уравнения, потом применяем теорему Виета и получаем корни 1 и 4.
Подробнее о переносах из левой в правую часть и наоборот в уравнениях и равенствах я написал здесь:
и здесь
Корни уравнения не обязаны быть положительными. Приведем пример двух отрицательных корней.
Пример 4. x^2+8x+15=0
Так как число 15 положительное, а оно есть произведение корней, то корни или оба положительные (примеры 1-3), или оба отрицательные (как здесь). Сумма корней по теореме Виета -8, поэтому сами корни -3 и -5.
Подобного рода задания встречаются и в профильном ЕГЭ (задание 6 тестовой части). Вот пример из "Решу ЕГЭ" (№ 26667):
Пример 5. Найдите корень уравнения: x^2-17x+72=0. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них. Попробуйте сами устно решить по теореме Виета.
Корни могут иметь разные знаки. Тогда их произведение будет отрицательным. Вот пример.
Пример 6. x^2+2x-399=0
Классно здесь считать дискриминант! Но зрячий увидит! Корни различаются на 2, причем они разного знака. Дальше несложно подобрать эти корни: -21 и 19. Или сложно, если не знать теорему Виета и не видеть решение без дискриминанта.
Подведем итог
Теорема Виета не обязательное, но приятное дополнение к аппарату решения квадратных уравнений через дискриминант. Для ОГЭ она в принципе не так полезна ввиду того, что в подсказках есть все квадраты двухзначных чисел. А вот на ЕГЭ может сильно сэкономить время при расчетах. Особенно задания 18 (параметр), где без нее в ряде заданий вообще сложно обойтись.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял. Тогда уже я буду благодарен