Равенство в математике
Равенство — это математическое выражение, которое показывает, что два числа, выражения или величины одинаковы по значению. Давайте подробнее.
Структура равенства очень простая: левая часть; знак равно; правая часть. Например: 2=2 (как на рисунке) или а=а. Отсюда следует свойство рефлексивности равенства: любое математическое выражение равно самому себе.
Разумеется, понятие равенства вводится для более сложных случаев. Например, с одной стороны есть 2 или несколько слагаемых (левая часть) и с другой стороны тоже(правая часть). Если в результате сложения мы получаем одно и то же число слева и справа, то равенство верное. В противном случае оно неверное. Например 2+5=1+6, а 2+9 не равно 7+8.
Зачем это надо? Хотя бы для того, чтобы оценить силы сторон перед битвой или соревнованием. При равенстве шансы победы одинаковые, при отсутствии равенства разные. Это один пример.
Или вот более колоритный пример. Надо разделить пополам стадо овец. Можно так, как это делали наши далекие предки. Отгоняем одну овцу влево, потом одну вправо, и так делаем, пока все стадо не кончится. А можно понять, что слева и справа должно быть равенство. Посчитать овец, поделить их число пополам и отогнать половину влево. Справа тоже останется половина. Если же общее число овец нечетно, то одна овца окажется ничья. Ровно так же, как перегонять овец по одной.
Сейчас мои любимые критики начнут писать, что все это примитив. Точно. Примитив. Азы. Которые не доходят до школьников в младших классах. Поэтому в старших классах с уравнениями беда. Но об уравнениях будет отдельный материал.
Отметим еще два свойства равенств:
- Симметричность: если a=b, то и b=a.
- Транзитивность: если a=b и b=c, то a=c.
С общими азами пока всё. А вот дальше несколько рассуждений, которые в школах не так популярны. Для тех, кто до этого места дочитал.
Некоторые свойства равенств
Равенства можно складывать и вычитать. Действительно, если а=b и c=d, то а+b=c+d; a-b=c-d. Например, если 2х+3 =у+1; х+2=у-1, то вычитая из первого уравнения второе сразу получаем х=1, а затем и у=4. Этот метод решения системы линейных уравнений получил название "метод алгебраического сложения". Метод не очень популярен в обычных школах, так как отсутствует понимание свойств равенств. Иногда не только у детей, но и у учителей. Я, например, работал в школе, где 10-11 классы могли вести только два из пяти учителей математики (включая меня). Остальным квалификации не хватало.
Равенства можно умножать и делить на любое число (кроме деления на 0). Действительно, если целые равны, то и их одинаковые доли равны. И числа, одинаково кратные изначальным тоже равны. Свойство удобно использовать и в системах линейных уравнений (в том числе, в линейной алгебре в высшей математике) и в практических задачах на дроби и пропорции.
Подведем итог
Я не ставлю себе цель написать по параграфам учебник для школ. Это делают сильно выдающиеся некоторыми местами авторы учебников, которым за это неплохо платят. В разделе "школьная математика" я лишь обращаю внимание почтенной публики на те понятия, которые в школах обсуждаются слабо, что в свою очередь мешает школьникам понять более сложные моменты и успешно решать задания. И пытаюсь эти понятия как-то попроще объяснить.
Подписывайтесь, чтобы ничего не пропустить.
Не благодарите. Впрочем, донаты никто не отменял. Тогда уже я буду благодарен