Две формулы площади - и два балла по геометрии твои.
P.S. Все задания взяты из открытого банка заданий ОГЭ ФИПИ.
Необходимая теория
Для решения задач нужно
- Знать формулу площади параллелограмма: площадь равна произведению стороны на высоту, проведенную к этом стороне.
- Знать формулу площади треугольника: площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этом стороне.
- Знать свойство параллелограмм, согласно которому его противоположные стороны равны.
Задача
Формулировка. Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку Е. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Чертёж. ABCD - параллелограмм, E - точка внутри параллелограмма. Точка Е соединена с вершинами параллелограмма, при этом образуются треугольники BEC и AED. Сделаем дополнительное построение: проведем высоту параллелограмма FH, которая проходит через точку Е.
Алгоритм. Выразим площади треугольников BEC и AED, затем сложим их, после чего выразим площадь параллелограмма ABCD, разделим её на два, в итоге сравним полученные выражения (половина площади параллелограмма и сумма площадей треугольника) и сделаем вывод, что они идентичны.
Высота FH точкой Е делится на две высоты FE и EH - это высоты треугольников BEC и AED соответственно.
Площадь треугольника BEC равна половине произведения высоты FE на сторону BC, т.е. S(BEC) = FE · BC : 2. Аналогично площадь треугольника AED равна половине произведения высоты EH на сторону AD, т.е. S(АED) = EH · AD : 2.
Тогда сумма площадей этих треугольников равна EF · BC : 2 + EH · AD : 2.
Противоположные стороны параллелограмма равны => AD = BC. Заменим один из отрезков на другой: EF · BC : 2 + EH · BC : 2.
Вынесем BC, деленную пополам) за скобки: BC : 2 · (EF + EH) = BC · FH : 2. Это выражение суммы площадей треугольников BEC и AED.
Площадь параллелограмма ABCD равна произведению высоты FН на сторону BC, т.е. S(ABCD) = FH · BC.
Сравним: сумма площадей треугольников равна BC · FH : 2, площадь параллелограмма равна BC · FH, т.е. сумма площадей треугольников равна половине площади параллелограмма. ЧТД
🔥 Ваша очередь!
👇 Напишите в комментариях:
- Насколько эти задачи показались сложными?
✅ Самое надёжное — не зубрёжка, а понимание.
📌 Дальше — постепенный разбор задач задания 24:
👉 Подборка всех задач задания 24 - здесь.
📌 Хотите ещё геометрии?
👉 Подборка всех задач задания 23 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 15 - здесь.
👉 Разбор всех типов задания 16 - здесь.
👉 Разбор 1 части задания 17 - здесь.
🔔 Чтобы не искать — подпишитесь и нажмите колокольчик.
Тогда следующий разбор сам придет к вам завтра в 10:00.
📚 А если хотите весь план подготовки сразу — заберите его здесь.
Рассчитан на 4 месяца, внутри: теория, разбор ошибок, тренажёры по ВСЕМ заданиям.