Задание
Постройте график уравнения:
(|x + y| – 1)·(|x – y| – 1) = 0
Решение
Уравнение представляет собой произведение двух множителей, поэтому искомый график будет являться совокупностью графиков двух уравнений (см. Правило 3(у)):
Построим график каждого уравнения по отдельности.
а) |x + y| – 1 = 0
Выполним равносильные преобразования и раскроем модуль:
Последний равносильный переход получается из следующих соображений. Система
состоит из неравенства (y ⩾ –x) и уравнения (функция y = 1 – x). Ниже на рис. 1 изображены их графики и легко видеть, что точки, координаты которых удовлетворяют обеим выражениям системы, есть точки графика функции y = 1 – x .
Аналогичная ситуация складывается со второй системой объединения – она оказывается равносильна выражению функции y = –x – 1 (рис. 2).
Таким образом, график для |x + y| – 1 = 0 представляет собой две параллельные линии, описываемые выражениями y = 1 – x и y= –x – 1 (рис. 3).
Прийти к такому выводу можно другим, более коротким путём. Перенесём единицу в правую часть:
|x + y| = 1
Модуль величины (x + y) может быть равен единице в двух случаях: когда подмодульное выражение равно 1 или когда оно равно –1, из чего сразу получается объединение
б) |x – y| – 1 = 0
Применяя такие же рассуждения, как в а), можно получить, что
Иными словами графиком уравнения |x – y| – 1 = 0 является пара прямых y = x – 1 и y = x + 1 (рис. 4).
Соответственно, графиком уравнения из условия задачи будут две пары пересекающихся прямых линий.
Ответ
Другие задания, имеющиеся на канале, можно найти здесь:
Сведения о новых статьях блога можно найти в Telegram-канале Shuric_Himik